2. Параметры распределения

В оптическом эксперименте критериями подобия являются определенные ранее эффективные параметры, которые задаются на входе программы. Но поскольку в формулу плотности распределения входят некие коэффициенты A и B, то к ним от эффективных параметров производится переход при помощи формул преобразования (1.6.3).

3. Механизмы агрегации частиц

4. Параллельная реализация алгоритма, изложенного в пункте 2. Модификация алгоритма

Параллельность исполнения алгоритма может быть обеспечена путем перераспределения множеств между процессами

Параллельная реализация «напрямую» излагаемого алгоритма потребует перераспределения множеств на каждом шаге, что может сильно сказаться на производительности программного кода реализации (при медленных каналах связи). В качестве решения данной проблемы предлагается модифицированный алгоритм с учетом специфики параллельных вычислений:

0. На начальной стадии кластер состоит из единственной частицы . Распределить равномерно блоки между процессами. Задать множества .

1. Сгенерировать сфер и их траекторий: .

2. Для каждого блока (блоки статически равномерно распределены между процессами) и для каждого определить множество частиц , где .

3. Для каждого ( ) и для каждого определить точку «прилипания» к j-ой сфере, как если бы других частиц не было бы. Полученное множество возможных точек «прилипания» обозначим за .

4. Вычислить точку «прилипания», как если бы в кластере были только частицы, содержащиеся в блоках данного процесса, по формуле .

5. Вычислить реальную точку прилипания по формуле .

2. Программный расчет параметров кластера

Программа производит вычисление фрактальной размерности и радиуса гирации (радиус инерции сечения) сгенерированного кластера.

Расчет радиуса гирации кластера сферических частиц производится по формуле (1.7.1), описанной в разделе 1.7.

Расчет фрактальной размерности производится путем поиска наилучшей прямой, аппроксимирующей зависимость (3.2.1) величины от , где – радиус i-ой частицы и длина радиус-вектора i-ой частицы соответственно.

(3.2.1)

3. Результаты компьютерного эксперимента

   1. Исследование предельных фрактальных характеристик кластеров сферических частиц

В рамках УИР был проведен численный эксперимент по исследованию поведения фрактальной размерности кластеров сферических частиц, полученных в соответствии с описанными выше моделями агрегации типа «частица – кластер», в зависимости от числа частиц в кластере.

Размерность кластера из конечного числа сфер N, программно сформированного в соответствии с приведенным выше алгоритмом, определялась исходя из зависимости V(R) суммарного объема сфер-мономеров V, заключенных внутри сферы радиуса R, описанной вокруг центра кластера, от величины этого радиуса [4,5]. При этом для простоты полагаем, что вся частица заключена внутри сферы радиуса R, если туда попадает её центр – ошибка такого приближения пренебрежимо мала при . В таком приближении

. (4.1.1)

Здесь – вектор координат центра пузырька, – радиус этого пузырька, а

– (4.1.2)

– вектор координат центра масс кластера. Указанная выше зависимость везде, за исключением более рыхлой внешней оболочки кластера, а также области малых значений радиуса сферы (R меньше или порядка (23)r_ef), с хорошей точностью аппроксимируется степенной функцией

, (4.1.3)

показатель степени которой D_с и определяет эффективную размерность реального физического кластера – пример такой зависимости показан на рис.1 для отдельной компьютерной реализации баллистического кластера с параметрами логнормального распределения мономеров r_eff = 90 nm, v_eff = 0.02, N = 120 (рис.2). Оценка фрактальной размерности этого кластера дает значение D_с =2,6 .

Рис. 1 Зависимости суммарного объема V шаров, центры которых находятся внутри сферы радиуса R, описанной вокруг центра кластера, от величины этого радиуса – показана точками; степенная аппроксимация этой зависимости – сплошная линия. Радиусы шаров формирующих кластер распределены по логнормальному закону с параметрами r_ef = 90 nm, v_ef = 0.02; общее число частиц в кластере N =120. Изображение кластера показано на рис.2

Рис.2 Стохастическая модель кластера из воздушных нанопузырей с параметрами логнормального распределения r_eff = 90 nm, v_eff = 0.02, N = 120

Необходимо отметить, что для реальных физических кластеров, образованный конечным числом частиц N, размерность D_с , определенная в соответствии с (5), в общем случае представляет собой случайную величину, математическое ожидание которой зависит от числа частиц N_c . На рисунке 2 представлена размерность D_с , усредненная по ансамблю из ста реализаций кластеров, полученных при фиксированных значениях r_eff , v_eff и N , в зависимости от величины N. Эта зависимость получена для используемой баллистической модели агрегации типа кластер-частица с нулевым прицельным расстоянием (модель падения на центр) с помощью реализованного нами вычислительного алгоритма. Для сравнения эта зависимость приводится для модели Айдена и баллистической модели агрегации без параметра соударения.

N_c

D_c

Рис. 3 Сплошная линия – зависимость эффективной размерности кластера D_с от числа частиц N для баллистической модели агрегации кластер-частица с нулевым прицельным расстоянием (модель падения на центр) при логнормальном распределении радиусов сферических частиц с параметрами r_eff = 90 nm, v_eff= 0.02. Пунктирная и пунктирная с точкой линии – аналогичные зависимости для баллистической модели агрегации кластер-частица без прицельного параметра и для модели Айдена соответственно. Значения D_с усреднены по 100 реализациям кластера для каждой модели агрегации.

Известно (см., например, [7,2]), что в предельном случае бесконечного числа частиц размерность таких кластеров D_с должна стремится к размерности пространства, то есть в нашем случае к 3. Однако в отличие от идеализированных математических моделей бесконечных кластеров реальные кластеры (рис. 3) имеют фрактальную размерность D_с, отличающуюся от 3. Согласно предварительным оценкам соотношения размеров кластера и бабстона (оценкам, основанным на теоретической модели [2,3] и на данных интерференционной модуляционной микроскопии) число частиц в кластере N. может лежать в диапазоне 10²10³. Следовательно, оценка размерности D_с (см. рис. 3) лежит в интервале 2,32,6. Таким образом, кластеры, использованные нами для расчета поляризационных характеристик рассеяния имеют эффективную размерность заметно отличную от размерности пространства, и их следует рассматривать как фрактальные объекты.