§ 1.3 Образец выполнения лабораторной работы. «Установление линейной корреляционной связи между двумя случайными величинами».

X	Y
Производительность труда на одного рабочего (%)	Годовая продукция на одного рабочего (млн. руб)

Таблица 1.

X	Y	X	Y	X	Y	X	Y	X	Y
5	4	15	12	25	12	15	16	55	16
15	8	5	12	25	8	35	16	45	20
15	12	25	12	65	24	45	20	55	16
15	16	25	4	35	12	35	12	45	20
35	12	25	8	35	12	45	16	55	16
15	12	25	8	35	12	35	12	55	20
35	12	25	4	45	16	45	20	55	20
15	12	25	12	35	12	55	16	55	20
35	16	25	16	45	16	55	16	55	24
5	4	25	8	35	12	45	20	55	20

1.Исходные данные сгруппируем в виде корреляционной таблицы 2.

Таблица 2.

Y	X
	5	15	25	35	45	55	65
4	2		2					4
8		1	4					5
12	1	4	3	9				17
16		2		2	3	5		12
20			1		5	4		10
24						1	1	2
	3	7	10	11	8	10	1	50

2. Для предварительной оценки формы связи построим точки с координатами: (5;4), (5;12), (15;8),(15;12), (15;16), (25;4), (25;8),(25;12),(25;20),(35;12),(35;16),(45;16),(45;20),(55;16),(55;20),(55;24),(65;24).

Отметить в прямоугольной системе координат XОY точки с данными координатами, не соединяя их

Точки группируются около некоторой прямой, поэтому связь между X и Y можно предположительно считать линейной.

3. Произведем промежуточные вычисления, т.е. найдем , , , .

Для упрощения расчетов перейдем к условным вариантам и найдем соответствующие характеристики: , , , .

В корреляционной таблице 1 найдем наибольшую частоту: .

Тогда =35, =12, =15-5=10, =8-4=4.

;

Запишем корреляционную таблицy 2 в условных вариантах, дополнив ее новыми строками и столбцами

Таблица 3.

V	U
	-3	-2	-1	0	1	2	3
-2	6 2		2 2					4	-8	16	16
-1		2 1	1 4					5	-5	5	6
0	0 1	0 4	0 3	0 9				17	0	0	0
1		-2 2		0 2	1 3	2 5		12	12	12	9
2			-2 1		2 5	4 4		10	20	40	24
3						6 1	9 1	2	6	18	15
	3	7	10	11	8	10	1	N=50	∑=25	∑=91	∑=70
	-9	-14	-10	0	8	20	3	∑=-2			↑ Контроль
	27	28	10	0	8	40	9	∑=122
	12	-2	6	0	13	32	9	∑=70	←Контроль

Заполнение таблицы 2.

Она заполняется в соответствии с символьными выражениями в заглавиях строк(столбцов).

Например =-8 получается умножением =4 на V=-2.

Значение =16 получается умножением =-8 на V=-2.

Аналогично по столбцам значение =-9 получается умножением =3 на U=-3.

Символы ∑ означают сумму найденных значений. Например ∑=25 получается суммированием значений : -8+(-5)+12+20+6=25;

∑=-2 получается суммированием значений : -9+(-14)+(-10)+0+8+20+3 =-2

Для вычисления удобно сначала вычислить произведения , которые записываются в верхний угол каждой клетки таблицы, которая содержит частоту . Например 6 = и т.д.

Полученные таким образом произведения , умножают на соответствующие частоты и результаты складывают отдельно по строкам и столбцам.

Например для столбца значение 16 = . И так далее.

Аналогично для строки например значение 6= . И так далее.

Полученные числа суммируют и по строкам и по столбцам, результаты должны совпадать.

Действительно:

12+(-2) + 6 + 0+ 13 + 32 + 9=16 + 6 + 0 + 9 + 24+15 = 70 Итак, промежуточные вычисления в условных вариантах:

4.Подсчитаем выборочный коэффициент линейной корреляции r_в по формуле:

Значение r_в =0,95, следовательно корреляционная связь между случайными величинами Х и Y сильная. Знак r_в положительный, следовательно связь прямая.

5. Подсчитаем возможную ошибку

6. Найдем по таблице Стьюдента значение критерия ,

Число степеней свободы находится по формуле k = n-2 =200 – 2 = 198, a уровень значимости α примем равным 0,05. Значение = 1,64.

Тогда доверительный интервал для линейного коэффициента генеральной совокупности будет иметь вид:

0,92 < <0,98 или (0,92; 0,98).

Найденный интервал указывает на то, что при повторении опытов в 95 случаях их 100 истинное значение коэффициента линейной корреляции генеральной совокупности будет заключено в интервале (0,92; 0,98).

6. Установим значимость

Вычислим t_набл =

Сравним t_набл и t_крит

Так как 47,5 > 2,01 то вычисленное значение г_в отличается от нуля значимо и, следовательно, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что изучаемые случайные величины линейно коррелированны.

6. Найдем коэффициенты линейной регрессии.

Для этого перейдем от условных вариантов к исходным:

σ_x = 1,56*10=15,6 σ_y= 1,25*4=5.

6. Запишем уравнения линейной регрессии:

или после преобразований

- уравнение линейной регрессии Y на X

уравнение линейной регрессии X на Y.

Построим график эмпирической и теоретической линий регрессии. Наглядно убедимся в отсутствии грубой ошибки при определении существующей в генеральной совокупности связи между X и Y как линейной корреляционной связи.

Для этого соединим отрезками прямых точки с координатами: (5; 6,7), (15; 12,6), (25; 9,6), (35; 12,7), (45; 18,5), (55; 18,4), (65; 24). Получим ломаную линию (эмпирическую линию регрессии)

и по уравнению построим прямую(теоретическую линию регрессии), в одной и той же системе координат.

Построить график с двумя линиями. Ввиду простоты выполнения данного задания график не представлен.

Теоретическая линия регрессии хорошо согласуется с эмпирической линией регрессии.

11. Произведем содержательную интерпретацию результатов

корреляционного анализа.

Между производительностью труда и средней годовой продукцией на рассматриваемом этапе развития производства существует тесная прямая линейная корреляционная связь (r_в=0,71). Это можно утверждать с вероятностью 0,95.

Доверительный интервал имеет вид (0,51 ; 0,91). Это означает, что в исследуемых условиях производства влияние производительности труда на годовую продукцию составляет от 51% до 91%. Это будет наблюдаться в 95 случаях из 100.

12. Произведем содержательную интерпретацию результатов

регрессионного анализа.

Уравнение характеризует как в среднем годовая продукция зависит от производительности труда. Коэффициент линейной регрессии ( ) говорит о том, что, если производительность труда увеличить в среднем на 1 тонну, то годовая продукция возрастет в среднем на 0,23 млн. рублей.

Уравнение характеризует то, как в среднем производительность труда зависит о величины годовой продукции. Если годовую продукцию в среднем необходимо увеличить на 1 млн. рублей, то производительность труда необходимо увеличить в среднем на 2,22( ).