5 Статистические оценки параметров распределения. Точность и надежность оценок. Интервальные оценки параметров распределения случайных величин

5.1 Статистические оценки параметров распределения

Определить статистическую оценку — значит установить функциональную связь между этой оценкой и элементами выборки.

Оценка называется точечной, если она определяется одним числом.

Оценки должны бать несмещенными, эффективными и состоятельными.

Пусть Q^* — статистическая оценка некоторого параметра Q.

Оценка Q^* называется несмещенной, если M(Q^*)=Q. В противном случае оценка является смещенной.

Оценка называется эффективной, если она имеет минимальную дисперсию.

Оценка называется состоятельной, если .

Характеристики оценки СВ:

1) генеральная и выборочная средняя — среднее арифметическое элементов генеральной (выборочной) совокупности;

2) генеральная и выборочная дисперсия — среднее арифметическое квадрата отклонения элементов генеральной (выборочной) совокупности от генеральной (выборочной) средней.

Выборочная дисперсия является смещенной оценкой дисперсии. Поэтому при малых объемах выборки (n<30) пользуются исправленной выборочной дисперсией.

Выборочная дисперсия равна разности среднего квадрата и квадрата среднего.

3) выборочное среднеквадратическое отклонение равно корню квадратному из выборочной дисперсии (смещенная оценка). Исправленное выборочное СКО равно корню квадратному из исправленной выборочной дисперсии (несмещенная оценка).

Пусть элементы выборки объемом n разбиты на k групп по некоторому дополнительному признаку. Обозначим у — номер группы.

— групповое среднее.

Групповая дисперсия равна среднему квадрату отклонения элементов группы от группового среднего:

Межгрупповая дисперсия — дисперсия групповых средних относительно выборочной средней.

Внутригрупповая дисперсия — средняя дисперсия групп, взвешенная на их объемах.

Общая дисперсия — выборочная дисперсия всей выборки.

Для выборки, разбитой на группы, общая дисперсия равна сумме межгрупповой и внутригрупповой дисперсии.

5.2 Интервальные оценки. Точность и надежность оценки

При малых объемах выборки точечные оценки могут давать значительную погрешность, поэтому при n<30 используются интервальные оценки — оценки, характеризующиеся двумя числами (границами интервала).

Интервальные оценки позволяют оценить точность и надежность оценки.

Пусть Q^* — статистическая оценка некоторого параметра Q. Тогда точностью оценки называется положительное число δ, для которого выполняется условие:

|Q^*-Q|<δ (1)

Т.к. Q^* — СВ (одно из возможных значений СВ) и вычисляется на основе статистических данных, то говорить о выполнении условия (1) можно лишь с некоторой вероятностью:

Р(|Q^*-Q|<δ) = γ (2)

Вероятность γ называется доверительной вероятностью или надежностью и в практических задачах обычно задается близкой к единице (0,95-0,99).

P(Q^*-δ < Q < Q^*+δ) = γ

Интервал (Q^*-δ ; Q^*+δ) называется доверительным интервалом.

Доверительные интервалы для оценки мат. ожидания нормально распределенной СВ с известным СКО.

Пусть Х — нормально распределенная СВ, дисперсия и СКО которой известны.

По выборке объемом n с надежностью γ требуется определить доверительный интервал для оценки мат. ожидания М_х.

Рабочая формула имеет вид:

t — вспомогательная величина, которая определяется для заданного γ по таблицам функции Лапласа.

Доверительные интервалы для оценки мат. ожидания нормально распределенной СВ с неизвестными СКО и дисперсией.

Рабочая формула для определения доверительных интервалов имеет вид:

t_γ — СВ, распределенная по закону Стьюдента.