Завдання 3. Розрахунок ефективності фільтра

Синфазность підсумовування всіх частотних складових вихідного сигналу забезпечує максимальну амплітуду вихідного сигналу в заданий момент часу ti. Значення максимальної амплітуди можна оцінити, прийнявши ti = 0, при цьому вихідний сигнал:

y (0)  S () H () ==.

Коефіцієнт передачі фільтра прямо визначається спектром підлягає виявленню сигналу, його формою і тривалістю. Для оцінки ефективності фільтра задамо вхідний сиг-нал у вигляді прямокутного імпульсу амплітудою u0 тривалістю  на інтервалі 0 - . Спектраль-ная щільність прямокутного імпульсу при інтегральному перетворенні Фур'є:

П () = (1-exp (-j  )) / j   П * () = (exp (j  ) -1) / j .

При підстановці в (12.5.4 '), приймаючи Wq () = const, коефіцієнт передачі фільтра:

H () =  [(exp (j  ) -1) exp (-j  ] / j      (1-exp (-j  )) / j ,

де  - коефіцієнт пропорційності з розмірністю, зворотної спектральної щільності, для отримання безрозмірних значень коефіцієнта H (). При  = 1 (нормировка оператора фільтра проводиться, як правило, за коефіцієнтом посилення постійної складової вхідного сигна-ла) сигнал на виході фільтра:

U вих (t) = (u0 / 2 ) П () H () d  = (u0 / 2 ) (1-exp (-j  )) 2 exp (j  ) d ,

U вих (t) = U0 {t | t> 0 - 2 (t-) | t>  + (t-2 ) | t> 2 }.

Рис. 12.5.2.

Як можна бачити на рис 12.5.2, вихідний сигнал для вхідного прямокутного імпульсу являє собою трикутний імпульс тривалістю 2  по підставі з максимальним значенням амплітуди на кінцевій частині вхідного імпульсу. Це визначається тим, що при Wq () = 1 оператор фільтра повністю повторює форму вхідного сигналу (прямокутного імпульсу), а вихідний сигнал у відсутність шумів є згортку двох однакових імпульсів, максимальне значення якої досягається при повному вході сигналу в інтервал оператора фільтра ( t = ) і дорівнює повній енергії вхідного імпульсу:

U0 = п (t) • h (t) dt = п (t) 2 dt = u02 • .

Значення U0 визначається нормуваннями оператора фільтра . Що стосується посилення дис-Персії (потужності) шумів, то, як відомо, дисперсія шуму на виході фільтра дорівнює дисперсії вхідних шумів  2, помноженої на інтеграл квадрата імпульсного відгуку фільтра (для цифро-вих систем - сума квадратів коефіцієнтів оператора фільтра):

 2вих =  2 h2 (t) dt = ( 2/2   | H ( | 2 d .

Для обчислення інтеграла модуль передавальної функції фільтра для прямокутного им-пульсу може бути представлений у вигляді інтегрального синуса:

| H ( | 2 d  = 2   u02 sinc2 (  / 2) d (  / 2) = 2   u02 .

Дисперсія шумів на виході:

 2вих =  2u02  

З використанням цього виразу для відносини потужності сигналу до потужності шуму для сигналів на вході і виході фільтра маємо:

 вх = u02 /  2,  вих = u04  2 /  2u02  = u02    2.

Для відносини амплітудних значень сигналу до среднеквадратическим значенням шуму:

 вх = u0 / ,  вих = (u0  ).

Звідси випливає, що ефективність фільтра тим вище, чим більше тривалість взаємо-дії сигналу з оператором фільтра. Фільтр жорстко налаштовується під форму сигналу, і лю-бій зміна форми сигналу знижує його ефективність.