Вопросы к экзамену

1. Случайные события: определение, типы случайных событий. Операции над событиями.

2. Свойства вероятности (аксиоматический подход). Классическое определение вероятности.

3. Формулы комбинаторики.

4. Статистическое определение вероятности.

5. Теоремы умножения и сложения вероятностей (с доказательством).

6. Вероятность противоположного события. Вероятность хотя бы одного события.

7. Формула полной вероятности.

8. Формула Байеса.

9. Дискретные случайные величины. Закон распределения.

10. Функция распределения дискретной случайной величины, её свойства и график.

11. Математическое ожидание дискретной случайной величины, его свойства.

12. Дисперсия дискретной случайной величины, её свойства. Среднее квадратичное отклонение.

13. Гипергеометрическое распределение.

14. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появлений события в серии независимых испытаний.

15. Биномиальное распределение, его числовые характеристики.

16. Предельные случаи биномиального распределения.

17. Непрерывные случайные величины: функция распределения, плотность распределения, математическое ожидание и дисперсия.

18. Равномерное распределение на отрезке [a,b]: функция распределения, плотность распределения и их графики, математическое ожидание и дисперсия.

19. Нормальное распределение, его параметры, график кривой нормального распределения.

20. Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал. Правило «трёх сигм».

21. Мода и медиана случайной величины.

22. Понятие о законе больших чисел и центральной предельной теореме.

23. Предмет математической статистики, её цели и задачи. Генеральная и выборочная совокупности.

24. Сбор и первичная обработка данных, полигон и гистограмма.

25. Определение закона распределения.

26. Выборочная средняя и выборочная дисперсия .

27. Мода и медиана вариационного ряда.

28. Точечные и интервальные оценки параметров распределения.

29. Проверка правдоподобия гипотез. Ошибки 1-го и 2-го рода при принятии гипотезы.

30. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимость.

31. Корреляционная таблица. Корреляционное поле. Предварительный анализ зависимости между величинами.

32. Ковариация. Выборочный коэффициент линейной корреляции. Коэффициент детерминации.

33. Понятие о методе наименьших квадратов.

34. Уравнение прямой линии регрессии. Смысл коэффициента регрессии.

Задачи для подготовки к экзамену

1. На тарелке лежат три апельсина, пять яблок и четыре груши. Дети съели 4 фрукта. Какова вероятность, что они съели: а) апельсин, два яблока и грушу; б) все яблоки; в) по крайней мере, два яблока?

2. Для сигнализации об аварии установлены два сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только один сигнализатор; б) хотя бы один сигнализатор; в) оба сигнализатора.

3. В первой урне 3 белых и 4 чёрных шара, во второй – 2 белых и 3 чёрных, в третьей – 6 белых и 2 чёрных шаров. Из наугад выбранной урны наудачу вынимают шар. Какова вероятность, что он белый?

4. В портфеле компании 10 инвестиционных проектов, из которых 4 краткосрочных. Вероятность получения прибыли в первый год работы краткосрочного проекта равна 0,7, для других – 0,4. Найти вероятность того, что взятый для рассмотрения проект принёс прибыль в первый год работы.

5. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. В 45% случаев изделие попадает к первому товароведу, в остальных – ко второму. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано таковым, для первого товароведа равна 0,8, для второго – 0,95. Найти вероятность, что стандартное изделие проверено вторым товароведом.

6. Вероятность малому предприятию быть банкротом за время t равна 0,4. Найти вероятность, что из 7 малых предприятий за время t сохранится: а) 3, б) более 5.

7. В среднем 8-ая часть поступающих в продажу автомобилей не комплектна. Найти вероятность того, что среди 6 автомобилей имеют некомплектность: а) 2 автомобилей; б) менее 3. Какова вероятность, что среди 6 автомобилей хотя бы один полностью укомплектован?

8. Баскетболист бросает мяч в корзину. Вероятность попадания при одном броске равна 0,7 . Найти наивероятнейшее число попаданий при 23 бросках. Сколько бросков надо сделать баскетболисту, чтобы наивероятнейшее число попаданий равнялось 11?

9. Вероятность выигрыша по облигации займа за все время его действия равна 0,1. Некто приобрёл 5 облигаций. Какова вероятность, что выигрыш будет: а) по двум облигациям; б) не более чем по двум облигациям?

10. Монету бросают три раза. Написать ряд распределения и функцию распределения случайной величины – числа выпадений герба. Найти и .

11. Случайная величина имеет биномиальное распределение. Найти и , если .

12. Дан ряд распределения случайной величины . Найти ее математическое ожидание и дисперсию , среднее квадратичное отклонение . Построить график функции распределения . Найти и вероятность .

    	-2	0	3	4
    	0.2	0,5	0,1	0,2

13. В ящике находятся катушки с нитками четырех цветов: белого –50%, красного – 20%, зеленого – 20%, синего –10%. Какова вероятность, что взятая наудачу катушка окажется с нитями синего или зеленого цвета?

14. Построить гистограмму по результатам данной выборки. Найти выборочную среднюю.

    Xi – Xi+1	1 – 3	3 – 5	5 – 7	7 – 9	9 – 11
    ni	3	4	7	2	4

15. Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию данной выборки. Найти эмпирическую функцию распределения и построить её график. Построить полигон частот.

    Xi	1	3	5	7
    ni	10	5	20	15

16. По результатам выборочного исследования зависимости между величинами и были вычислены следующие характеристики: . Найти выборочный коэффициент линейной корреляции, сделать предположение о характере связи. Найти уравнение прямой линии регрессии на и построить её если известно, что .

17. По результатам выборки построить корреляционное поле, сделать предположение о характере связи между и

	-2	-1	0	2	3	4	5
	9	10	8	7,5	6	4	4,5