76. Классические формы математических моделей скалярных динамических систем. Математические модели динамических систем в пространстве состояний. Канонические формы моделей.

Математическая модель – это объект, который имеет с оригиналом следующее однозначное соответствие:

1) структуры, т.е. состава элементов и связей между ними;

2) уравнений, описывающих свойства этих элементов и их связей.

Динамической системой принято называть систему, изменяющую под действием сил свое состояние, характеризуемое значениями выходных переменных.

При исследовании динамических объектов и систем, как правило, интересуются так называемой динамикой систем – способностью систем изменять свое состояние под воздействием внешних воздействий. В этом случае математическая модель динамической системы и ее элементов представляется в виде уравнений динамики, которые могут записываться в форме дифференциальных, интегральных и др. уравнений. Уравнения движения описывают динамику системы, переход ее из одного равновесного (статического, установившегося) состояния в другое под действием входных координат (переменных).

Среди математических моделей динамической системы достаточно часто используют модели, где учитывается одно входное воздействие и одна выходная (управляемая) переменная (рис. 1). Такие системы принято называть скалярными системами (SISO – системами).

Т.о., для скалярной системы характерно наличие одного входного (управляющего) и одного выходного (управляемого) сигнала.

Существуют различные способы описания свойств и характеристик скалярной системы. Наиболее употребительными в практике являются описанные далее формы моделей, которые могут быть названы классическими.

Дифференциальные уравнения n-го порядка

В целом ряде случаев динамическая система может быть описана неоднородным дифференциальным уравнением вида:

(1)

Уравнение (1) устанавливает связь между входным сигналом u(t) и выходной (управляемой) величиной y(t) . Поэтому такое уравнение часто называют вход-выходным описанием динамической системы. Эта форма математического описания динамических систем может быть получена из поэлементного описания (поэлементной (компонентной) модели) системы путём исключения всех промежуточных переменных.

Динамические системы можно описывать не только дифференциальным уравнением, а его решением при определенных (заданных, типовых) входных воздействиях. Чаще всего в качестве типовых воздействий используются единичная ступенчатая функция 1(t) и дельта функция δ (t).

Аналитическое выражение единичной ступенчатой функции 1(t) имеет вид:

Другим типовым сигналом, часто используемым при исследованиях динамических систем, является дельта-функция δ(t):

Переходная характеристика ( переходная функция) h(t) системы определяется как реакция динамической системы на единичное ступенчатое входное воздействие 1(t) при нулевых начальных условиях.

Импульсная переходная функция (характеристика) w(t) системы – это есть реакция динамической системы при подаче вход дельта-импульса δ(t).

Начальный момент воздействия на систему можно принять за начало отсчета, т.е. t=0. Тогда, для физически реализуемых систем w(t)=0 при t<0, т.к. выходной сигнал не может появиться раньше входного. Кроме того, можно доказать, что импульсная переходная функция устойчивых систем является затухающей функцией.

Переходная и весовая функции динамической системы являются временными характеристиками импульсной переходной функции.

77. Нечеткие множества и лингвистические переменные. Операции над нечеткими множествами.

Пусть - так называемое универсальное множество, из элементов которого образованы все остальные множества, рассматриваемые в данном классе задач, например множество всех целых чисел, множество всех гладких функций и т. д. Характеристическая функция множества - это функция , значения которой указывают, является ли элементом множества :

Функция принимает значения в некотором вполне упорядоченном множестве М. Особенностью этой функции является бинарный характер ее значений.

С точки зрения характеристической функции, нечеткие множества есть естественное обобщение обычных множеств, кода мы отказываемся от бинарного характера этой функции и предполагаем, что она может принимать любые значения на отрезке [0;1]. В теории нечетких множеств характеристическая функция называется функцией принадлежности, а ее значение - степенью принадлежности элемента нечеткому множеству . Множество значений функции называют множеством принадлежностей и обозначают М.

Более строго, нечетким множеством называется совокупность пар

,

где - функция принадлежности, т.е.

Пусть, например,

Будем говорить, что элемент а не принадлежит множеству А, элемент b принадлежит ему в малой степени, элемент с более или менее принадлежит, элемент d принадлежит в значительной степени, e является элементом множества А.

Л ингвистическую переменную можно определить как переменную, значениями которой являются не числа, а слова или предложения естественного (или формального) языка. Например, лингвистическая переменная «возраст» может принимать следующие значения: «очень молодой», «молодой», «среднего возраста», «старый», «очень старый» и др. Ясно, что переменная «возраст» будет обычной переменной, если ее значения ­ точные числа; лингвистической она становится, будучи использованной в нечетких рассуждениях человека.

Каждому значению лингвистической переменной соответствует определенное нечеткое множество со своей функцией принадлежности. Так, лингвистическому значению «молодой» может соответствовать функция принадлежности, изображенная на рис. 1.2.

Математическое определение лингвистической переменной

Лингвистической переменной называется пятерка {x, T(x), U, G, M}, где x — имя переменной; T(x) — множество имен лингвистических значений переменной x, каждое из которых является нечетким множеством на множестве U; U – множество объектов (или универсум); G - синтаксическое правило для образования имен значений x; M - семантическое правило для ассоциирования каждой величины значения с ее понятием.

Пример: Рассмотрим лингвистическую переменную, описывающую возраст человека, тогда: х – «возраст»; U – множество целых чисел из интервала [0; 120]; Т(х) – значения «молодой», «зрелый», «старый»; G – «очень», «не очень» (такие добавки позволяют образовывать новые значения: «очень молодой», «не очень старый» и пр.); M – математическое правило, определяющее вид функции принадлежности для каждого значения из множества T.

Операции над нечеткими множествами

Пусть известны две нечетких множества А, В и их функции принадлежности и соответственно при М=[0;1] ( ).

• Два нечетких множества А и В эквивалентны ( ) тогда и только тогда, когда имеет место .

• Включение. Нечеткое множество А содержится в нечетком множестве В ( ) тогда и только тогда, когда .

• Пересечением нечетких множеств А и В называется наименьшее нечёткое подмножество, содержащееся одновременно в А и В:

• Произведением нечетких множеств А и В называется нечеткое подмножество с функцией принадлежности:

• Объединением нечетких множеств А и В называется наибольшее нечеткое подмножество, содержащее одновременно А и В:

• Суммой нечетких множеств А и В называется нечеткое подмножество с функцие принадлежности:

• Отрицанием множества называется множество с функцией принадлежности:

• Операция концентрации представляется как алгебраическое произведение нечеткого множества А на самого себя:

, т.е. .

В результате применения этой операции к множеству А уменьшаются степени принадлежности элементов х этому множеству, причем если , то это уменьшение относительно мало, а для элементов с малой степенью принадлежности – относительно велико. В естественном языке применение этой операции к тому или иному значению лингвистической переменной А соответствует использованию усиливающего терма «очень» (например, «очень высокий», «очень старый» и т.д.).

• Операция растяжения определяется как

, т.е. .

Действие этой операции противоположно действию операции концентрации и соответствует неопределённому терму «довольно» выполняющему функцию ослабления следующего за ним терма («довольно высокий», «довольно старый» и т.д.).