- •72. Алгебраическое интерполирование. Исследование существования и единственности интерполяционного полинома. Интерполяционный полином Лагранжа. Оценка остаточного члена.
- •73. Интерполяционные квадратурные формулы. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности.
- •74. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Применение метода Гаусса к вычислению определителя и обратной матрицы.
- •75. Итерационные методы решения систем линейных уравнений. Методы Якоби и Зейделя. Исследование сходимости в случае матриц с диагональным преобладанием.
72. Алгебраическое интерполирование. Исследование существования и единственности интерполяционного полинома. Интерполяционный полином Лагранжа. Оценка остаточного члена.
Пусть имеется значения функци f(xi) в нектр точках x0,x1,x2,,xn, xi [a,b] I, x0=a<x1<…<xn=b. Требуется построить функцию g(x), такую что, f(xi)=g(xi), i=0,1,2,,n. (1) Задача построения такой функции g(x) называется задачей интерполяции. Точки x1,x2,,xn называются узлами интерполяции. Как правило, функция g(x) ищется из некоторого наперед заданного класса функций, назовем его V. Если элементами V являются полиномы, то говорят об алгебраической интерполяции, при этом функцию g(x) называют интерполяционным полиномом. Говорят, что задача интерполяции поставлена корректно, если при любых значениях f(xi), i=1,2,,n, существует единственная функция g(x) из V, удовлетворяющая условиям (1). Исследуем корректность задачи алгебраической интерполяции. Пусть g(x) = a0+a1 x++am xm. Коэффициенты ai определяются условиями (1), то есть являются решением следующей системы линенйых уравнений i=0m ai xji = f(xj), j=0,1,2,,n. (2) При m=n число неизвестных данной системы будет равно числу уравнений в ней, а определитель системы будет иметь вид Это - определитель Вандермонда, его значение = i > j (xixj). Поэтому отличен от нуля(все узлы интерполяции различны). Итак, задача алгебраической интерполяции корректна, если при заданных n+1 различных узлах интерполяции, функцию f(x) приближать полиномом степени n. Рассмотрим вопрос построения интерполяционного полинома. Его коэффициенты можно найти, решая систему (2). Однако, очевидно что многочлен степени n удовл.условиям (2) имеет вид:
Pn(x) = Сумма(f(xi) * Фi(x)), i=0,n; где Фi(x) = Произв.((x-xi)/(xi-xj)); j=0,n; i<>j, i=0,n
(если нужно)
Интерполяционный полином, записанный в такой форме, называют интерполяционным полиномом Лагранжа и обозначают через Ln(x): Оценку погрешности интерполяционного полинома будем проводить в предположении, что функция f(x) имеет непрерывные производные вплоть до порядка n.
Теорема
Пусть f(x) непрерывна (n+1) раз на [a,b]; сущесвтует на [a,b], что
f(x) – Ln(x) =( f(n+1)((n+1)!) *n+1(x)
(кому нужно) Рассмотрим функцию (x)=f(x)Ln(x)K n+1(x) (4) где K - некоторая постоянная, n+1(x)= (xx0) (xx1)(xxn). Пусть z [a,b] - точка, в которой мы хотим получить оценку остаточного члена. Естественно предположить, что zxi, i=1,,n. Выберем K из условия (z)=0. Это значение постоянной K можно выразить через производную порядка n функции f. По построению (xi)=0, i=1,,n. Поэтому на отрезке [a,b] функция обращается в нуль n+1 раз. По теореме Ролля ее первая производная должна обращаться в нуль на [a,b] хотя бы в n точках, а соответственно (n) - хотя бы в одной точке. Пусть это будет точка . Имеем (n)() = f(n)() 0K n! Отсюда следует, что K = f(n)()/ n!. Из (4), учитывая, что (z)=0, будем иметь Требуемая оценка получена.
Max| n+1(x )| на [-1;1] - будет наименьшей, если в качестве узлов интерполяции взять корни многочлена Чебышева:
Tn(x) = cos(n*arcos(x)), |x|<=1