- •60. Классификация линейных дифференциальных уравнений второго порядка с частными производными и приведение их к каноническому виду.
- •61. Вывод уравнения теплопроводности.
- •62. Задача Коши для уравнения колебаний струны. Формула Даламбера.
- •63. Решение первой краевой задачи для однородного уравнения колебаний струны методом разделения переменных.
- •64. Принцип максимума и теорема единственности решения первой краевой задачи для уравнения теплопроводности.
- •65. Теоремы единственности решения задачи Дирихле и задачи Неймана для уравнения Лапласа.
63. Решение первой краевой задачи для однородного уравнения колебаний струны методом разделения переменных.
Рассматривается краевая задача utt=a2uxx, 0 < x < l, t > 0, (1) u(0,t)=0, u(l,t)=0, t > 0, (2) u(x,0)=u0(x), ut(x,0)=u1(x), 0 < x < l. (3) Решение уравнения (1) будем искать в виде u(x,t)=X(x)T(t). Подставляя это выражение в уравнение (1), получим a2X’’(x)T(t)=T’’(t)X(x). Поделим обе части последнего равенства на a2X(x)T(t). Получим В уравнении (4) левая часть есть функция переменной x, а правая - функция переменной t, следовательно, равенство (4) может быть выполнено при всех x, t из рассматриваемой области, лишь при условии, что и левая и правая его части на самом деле есть постоянные:
= const. Знак минус здесь использован лишь для удобства дальнейших записей. Таким образом, для отыскания функций X(x), T(t) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения Потребовав, чтобы функция удовлетворяла не только уравнению (1), но и граничным условиям (2), получим граничные условия для функции X: Задача (6), (8) называется задачей Штурма-Лиувилля. Функция X, не равная тождественно нулю, удовлетворяющая уравнению (6) и граничному условию (8) при некотором , называется собственной функцией задачи Штурма-Лиувилля; соответствующее значение параметра называется собственным числом задачи Штурма-Лиувилля. Собственные функции и собственные числа рассматриваемой нами задачи Штурма-Лиувилля мы найдем в явном виде. Покажем сначала что собственные числа этой задачи могут принимать только положительные значения. Действительно, если < 0, то общее решение обыкновенного дифференциального уравнения (6) имеет вид X(x)=c1e-x+c2 e--x. Граничные условия (8) порождают систему линейных алгебраических уравнений для параметров c1, c2: c1+c2=0, c1e- L +C2 e-- L=0 определитель которой равен e-- L - e- L и очевидно отличен от нуля. Поэтому рассматриваемая система имеет только тривиальное решение: c1=c2=0, следовательно задача (6), (8) при > 0 может иметь только тривиальное решение. Пусть теперь = 0. Общее решение уравнения в этом случае есть X(x)=c1x+c2. Граничные условия (8) вновь могут быть выполнены лишь при c1=c2=0, то есть и = 0 не может быть собственным значением задачи Штурма-Лиувилля. Остается принять, что < 0. В этом случае общее решение уравнения (6), записанное в тригонометрической форме, имеет вид X(x)=c1cos x+c2sin x. Удовлетворяя граничные условия (8), получим c1=0, c2sinL=0. Естественно, мы должны принять, что c20, но тогда sinL=0, откуда получаем, что =n=((n)/L)2, n=1,2,…. Этим значениям параметра соответствуют нетривиальные решения X(x)=c2Xn(x)=sin((n)/L)x задачи (6), (8). Итак, n, c2Xn(x) n=1,2,… - собственные числа и соответствующие им собственные функции задачи Штурма-Лиувилля. Естественно, что собственные функции как решения однородного уравнения определяются с точностью до постоянного множителя. В дальнейшем постоянную c2 удобно считать равной единице. Пусть теперь Tn - общее решение уравнения (7) при =n: Tn(t)=ancos(a2n) t+bnsin(a2n) t, или (после элементарных преобразований) . В силу определения функций Xn, Tn получаем, что функция при любых n=1,2,… и любых значениях постоянных an, bn удовлетворяет уравнению (1) и граничным условиям (2). Решение уравнения (1), удовлетворяющее также и начальным условиям будем разыскивать в виде бесконечной суммы Предположим теперь, что функции u0, u1 могут быть представлены в виде разложений в ряд Фурье по синусам Коэффициенты Фурье вычисляются по известным из курса математического анализа формулам Сравнивая равенства (9) и (10), получаем, что начальные условия (3) выполняются, если положить Таким образом решение задачи (1)-(3) построено. Следует однако отметить, что это - формальное решение. При некоторых условиях на функции u0, u1 можно показать, что ряд, определяющий функцию u, а также ряды, получаемые по членным дифференцированием этого ряда дважды по x и по t, равномерно сходятся при 0 x l, t 0, и, следовательно, полученная нами формула действительно определяет решение задачи (1)-(3).