60. Классификация линейных дифференциальных уравнений второго порядка с частными производными и приведение их к каноническому виду.

Рассматривается линейное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными au_xx+2bu_xy+cu_yy+F (x,y,u,u_x,u_y)=0 (1) где F (x,y,u,u_x,u_y)=a₁u_x+a₂u_y+a₀u+f, a=a(x,y),  b=b(x,y), c=c(x,y), a₁=a₁(x,y), a₂=a₂(x,y), a₀=a₀(x,y), f=f(x,y) -заданные функции переменных x, y. Классификация уравнений. Введем в рассмотрение матрицу A коэффициентов при старших членах: A=()bc Пусть ₁, ₂ - характеристические числа матрицы A. В соответствии с общей классификацией уравнение (1) - уравнение эллиптического типа, если ₁, ₂ отличны от нуля и имеют один и тот же знак, уравнение (1) имеет гиперболический тип, если ₁, ₂ имеют противоположные знаки, и, наконец, если одно из этих чисел равно нулю, то уравнение (1) - уравнение параболического типа. Понятно, что этими тремя случаями в случае уравнений с двумя независимыми переменными исчерпывается все разнообразие типов уравнений с частными производными второго порядка. Используя формулу ₁, ₂=det(A), мы можем классифицировать уравнения по знаку так называемого дискриминанта  = b²-ac:

1)  > 0 - гиперболический тип,

2)  = 0 - параболический тип,

3)  < 0 - эллиптический тип.

Приведение к каноническому виду. Говорят, что уравнение (1) имеет канонический вид, если коэффициент b равен нулю, а коэффициенты a, c могут принимать значения +1,  -1, или 0. Уравнение (1) невырожденным преобразованием независимых переменных в той области, где оно сохраняет некоторый тип, можно привести к каноническому виду. Введем новые переменные:  = (x,y),  = (x,y). Выражая производные по x, y через производные по новым переменным, получим Выберем функции (x,y), (x,y) так, чтобы выполнялись условия , . Таким образом, мы получаем два одинаковых нелинейных уравнения для отыскания функций (x,y), (x,y). Это уравнение, как нетрудно проверить, можно представить в виде откуда следует, что решение каждого из двух линейных уравнений с частными производными есть решение уравнения (3). Как известно из курса обыкновенных дифференциальных уравнений, решениями этих уравнений будут функции ₁(x,y),  ₂(x,y), определяемые как общие интегралы обыкновенных дифференциальных уравнений соответственно. Понятно, что если уравнение (1) - гиперболическое ( > 0), то уравнения (5) вещественны и различны, поэтому, если мы положим =₁(x,y),  =₂(x,y), то уравнение (1) примет вид 2b^~u _+F^~(,,u,u _,u_)=0. Построенная нами замена переменных не вырождена во всей области изменения переменных x, y, где уравнение (1) остается гиперболическим. Действительно, умножая первое уравнение (4) на _2y, а второе - на _1y и вычитая полученные равенства получим, что якобиан введенной нами замены переменных _1x_2y-_2x_1y=2 _1y_2y/a и, стало быть, отличен от нуля. Поэтому и b  0 (иначе невырожденная замена переменных привела бы к изменению типа уравнения, что невозможно). Поделим последнее уравнение на b и введем новые переменные ,  , полагая  = +,  =-. Получим u_-u_+Ф(,,u, u_ u_)=0, то есть исходное уравнение приведено к каноническому виду. Если уравнение (1) - параболическое, то оба уравнения (5) совпадают, и замену переменных определяют при помощи равенств:  = ₁(x,y),  = ₂(x,y), где ₁(x,y) - общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения dx/a=dy/b, а ₂(x,y) можно брать произвольной, лишь бы якобиан преобразования, порожденного функциями ₁, ₂, был отличен от нуля. При такой замене переменных вследствие условия  = b^2-ac=0 получим a =a_x²+2b_x_y+c_y²=(a_x+c_y)²=0, следовательно, a_x+c_y=0, но тогда b =a_x_x+{ac}(_x_y+_y_x)+ c_y_y=(a_x+c_y)(a_x+c_y)=0 , и уравнение (2) принимает вид cu_+F(,,u,u_,u_)=0, причем c0, поскольку уравнение не может изменить тип при невырожденном преобразовании независимых переменных. Поделив последнее уравнение на c получим канонический вид гиперболического уравнения. Рассмотрим, наконец, эллиптические уравнения. В этом случае уравнения (5) комплексно сопряжены. Пусть (x,y)=(x,y)+i(x,y) - комплексный общий интеграл одного из этих уравнений. Тогда a_x²+2b_x_y+c_y²=(_x+i_x)²+2b(_x+i_x)(_y+i_y)+c(_y+i_y)²=0. Приравнивая нулю вещественную и мнимую части выражения левой части последнего равенства, получим a_x²+2b_x_y+c_y² = a_x²+2b_x_y+c_y², a_x_x+b(_x_y+_y_x)+c_y_y=0, откуда видно, что если положить  = (x,y),  = (x,y), то будут выполнены равенства a=c, b=0. Можно показать, что якобиан построенной нами замены переменных отличен от нуля (если коэффициенты уравнения (1) - аналитические функции), и, следовательно, a  0, поэтому после деления на a уравнение (2) примет канонический вид u_+u_+Ф(,,u,u_u_)=0.