Спектральная плотность мощности детерминированного сигнала.

Величина характеризующая распределение энергии по спектру сигнала и называемая энергетической спектральной плотностью, существует лишь для сигналов, у которых энергия за бесконечный интервал времени конечна и, следовательно, к ним применимо преобразование Фурье.

Для незатухающих во времени сигналов энергия бесконечна велика и интеграл (54) расходится. Задание спектра амплитуд невозможно. Однако средняя мощность Р_ср определяемая соотношением

(61)

оказывается конечной. Поэтому применяется более широкое понятие «спектральная плотность мощности». Определим ее как производную средней мощности сигнала по частоте и обозначим Р_k():

(62)

Индексом k подчеркивается, что здесь рассматривается спектральная плотность мощности как характеристика детерминированной функции u(t), описывающей реализацию сигнала.

Эта характеристика сигнала менее содержательна, чем спектральная плотность амплитуд, т.к. лишена фазовой информации (см. (38)). Поэтому однозначно восстановить по ней исходную реализацию сигнала невозможно. Однако отсутствие фазовой информации позволяет применить это понятие к сигналам, у которых фаза не определена.

Для установления связи между спектральной плотностью P_k() и спектром амплитуд воспользуемся сигналом u(t), существующим на ограниченном интервале времени (-Т<t<T). К такому сигналу применимо равенство Парсеваля (56). Из сравнения (62) с правой частью (56) следует

(63)

где - спектральная плотность мощности сигнала, ограниченного во времени.

В дальнейшем будет показано, что усредняя эту характеристику по множеству реализаций, можно получить спектральную плотность мощности для большого класса случайных процессов.

Функция автокорреляции детерминированного сигнала.

Имеем в частотной области две характеристики: спектральная характеристика и спектральная плотность мощности. Выясним чему соответствует во временной области спектральная плотность мощности, лишенная фазовой информации: очевидно ей соответствует множество временных функций, различающихся по фазе.

Л.Я.Хинчин и Н.Винер практически одновременно нашли обратное преобразование Фурье от спектральной плотности мощности:

(64)

где

Обобщенную временную функцию r(), не содержащую фазовой информации, назовем временной автокорреляционной функцией. Она показывает степень связи значений функции u(t), разделенных интервалом времени , и может быть получена из статистической теории путем развития понятия коэффициента корреляции. Отметим, что во временной функции корреляции усреднение проводится по времени в пределах одной реализации достаточно большой продолжительности.

Справедливо и второе интегральное соотношение для пары преобразования Фурье

(65)

Лекция 6 Случайный процесс как модель сигнала.

Единственная то что определяемая во времени функция не может служить математической моделью сигнала при получении, передачи и преобразовании информации. Поскольку получение информации связано с устранением априорной неопределенности исходных состояний, однозначная функция времени только тогда будет нести информацию, когда она с определенной вероятностью выбрана из множества возможных функций. Поэтому в качестве моделей сигнала используется служебный процесс. Каждая выбранная детерминированная функция рассматривается как реализация этого случайного процесса.

Необходимо учитывать воздействие на полезный сигнал помех, которые по своей природе случайны. Математическая модель помехи представляется также в виде случайного процесса, параметры которого определяются экспериментально. Вероятностные свойства помехи, как правило, отличны от свойств полезного сигнала, что и лежит в основе методов их разделения.

Справка. Под случайным процессом (стохастическим) подразумевают такую случайную функцию времени U(t), значение которой в каждый момент времени случайны. Конкретный вид U(t) называют реализацией случайного процесса. Точно ее предсказать невозможно. Можно лишь определить статистические данные, характеризующие все множество конкретных реализаций, называемое ансамблем.

Основными признаками, по которым классифицируются случайные процессы, являются: пространство состояний, временной параметр и статистические зависимости между случайными величинами U(t_i) в разные моменты времени t_i.

Пространство состояний называют множество возможных значений случайной величины U(t_i). Случайный процесс, у которого множество состояний составляет континуум, а изменение состояний возможны в любые моменты времени, называют непрерывным случайным процессом.

Если же изменения состояний допускаются лишь в конечном или счетном числе моментов времени, то говорят о непрерывной случайной последовательности.

Случайный процесс с конечным множеством состояний, которые могут изменяться в произвольные моменты времени, называют дискретным случайным процессом. Если же изменения состояний возможны только в конечном или счетном числе моментов времени, то говорят о дискретных случайных последовательностях.

Примеры реализации указанных случайных процессов представлены на рис. 3.

В настоящее время чаще имеют дело с дискретными случайными последовательностями.

Среди случайных процессов с дискретным множеством состояний нас будут интересовать такие, у которых статистические зависимости распространяются на ограниченное число k следующих друг за другом значений. Они называются обобщенными Марковскими процессами k-го порядка.