Лекция 9 преобразование сигналов

1.3 Дискретизация непрерывных величин.

Одой из наиболее часто встречающихся задач информационно-измерительной техники является передача сведений о числовом значении физической величины, характеризующей, например, ход какого-либо технологического процесса. По своей природе все физические величины являются непрерывными. Передача информации о непрерывной величине может осуществляться, например, по структурной схеме, приведенной на рисунке. Величина Х подается на вход преобразователя 1, на выходе которого получается также электрическая непрерывная величинаY, (ток, напряжение, частота), причем Y = F (X).

Рис. 1. Схема передачи информации о непрерывной величине.

Величина Y поступает в канал связи 2, на приемном конце которого включен электроизмерительный прибор со шкалой, градуированной в единицах величины Х. Схема эта проста и широко применяется. Недостатки этого способа:

• сильное влияние помех, искажающих результат;

• сложность обработки аналоговой информации;

• сложность передачи информации на большие расстояния.

Поэтому передача измерительной информации о непрерывных величинах в настоящее время производится с применением дискретизации передаваемой величины.

Р анее уже говорилось о дискретизации сигналов (формы представления детерминированных сигналов) вернемся к ней еще раз.

На рис. 2 дан график, поясняющий идею дискретизации. Если имеется непрерывная величина Y = f(t), то диапазон возможных значений ее можно разбить на «n» уровней с шагом y и в дальнейшем при передаче сведений, например в момент времени t₁, сообщать не действительное значение величины, равное y=f(x), а дискретное рациональное число y_kв = k_iy, соответствующее ближайшему уровню квантования k_i.

При этом передача сведений будет происходить с неизбежными погрешностями. Погрешность квантования является случайной величиной. Можно показать, что закон ее распределения будет равномерным с диапазоном возможных значений от –0,5y до +0,5y. Плотность вероятности погрешности квантования в указанных пределах будет

при среднем квадратичном отклонении

Уменьшая шаг квантования, можно получить желаемую точность сведений.

Замену бесконечно большого числа возможных значений непрерывной величины рядом дискретных рациональных значений называют дискретизацией или квантованием величины по уровню. Осуществив квантование, можно кодировать все n уровней квантования и передавать информацию о величине Y уже с использованием кода, что обеспечивает наибольшую надежность и правильность передачи информации (на большие расстояния).

Квантование по времени и теорема Котельникова.

Передачу непрерывного сигнала y=f(t), отображающую закон изменения во времени измеряемой величины X(t), обычно заменяют передачей ряда мгновенных значений отдельных ординат этой функции, взятых через некоторые интервалы времени. Нетрудно видеть, что без этого невозможно, например, использование кодовых сигналов, т.к. передач каждого кодированного сообщения занимает конечное время. Точно также неизбежна дискретизация по времени при использовании модулированных импульсных сигналов, рассматриваемых далее, и особенно при использовании одного канала связи для передачи значений нескольких меняющихся во времени измеряемых величин.

При равномерном квантовании по времени руководствуются теоремой В.А.Котельникова, указывающей при каких условиях непрерывная функция времени может быть восстановлена идеально точно по значениям ее дискретных ординат. Формулировка теоремы следующая.

Если непрерывная функция времени f(t) не содержит составляющих с частотой выше F_max, то она вполне определяется дискретными значениями, отсчитываемыми через интервалы времени

Доказательство этой теоремы основывается на возможности представления функции f(t), имеющей ограниченный спектр, в виде ряда

(1)

Функция

(2)

Здесь k- целые числа, как положительные, так и отрицательные; t – время; t – постоянная величина, равная 1/F_max.

Не рассматривая математического доказательства такого разложения, приведем только его геометрическую интерпретацию графиком, показанным на рис. 3.

Рис. 3. Разложение функции f(t) в ряд составляющих (k,t), где k – целое число

Из рисунка видно, что каждое из слагаемых является функцией времени с убывающей амплитудой. Если в (2) индексу k придать некоторое значение l, то в момент t_l=lt функция (kt) становится неопределенностью вида 0/0, т.к. множитель (t-lt) в знаменателе равен нулю и числитель тоже будет равен нулю. Для раскрытия неопределенности берем отношение производных:

Учитывая (2), получаем

т.е. каждое слагаемое с любым номером l в момент времени t=lt становится равным f(t).

В тот же момент времени все остальные слагаемые с номером ml будут иметь множитель Но и, следовательно, , т.к. l и m – целые числа, т.е. все слагаемые в момент времени t=lt становятся равными нулю, кроме слагаемого с номером l, которое в этот момент равно f(t).

Таким образом, на основе теоремы Котельникова делают вывод, что для информации о непрерывной величине достаточно передавать ее значение через интервалы времени

, (3)

где F_max – частота наивысшей гармонической составляющей.