- •5. Векторы, основные определения, понятия, действия над ними
- •9. Уравнения прямой на плоскости: с угловым коэффициентом; через две точки; в отрезках, общее уравнение
- •15. Предел числовой последовательности.
- •16. Предел функции, его геометрическая интерпретация, действия над пределами.
- •17. Первый и второй замечательный предел
- •18. Бесконечно малые величины, их свойства, эквивалентность.
- •19. Раскрытие неопределённостей
- •20. Непрерывность функции.Основные определения, теоремы
- •21. Точки разрыва
- •22. Свойство непрерывных функций на сегменте
- •23. Определение производной
- •24. Правила дифференцирования
- •25. Дифференциал функции
- •26. Производные высших порядков
- •27. Правило Лопиталя.
- •28. Применение производных к исследованию
- •30. Теорема Лагранжа, коши
- •31, Экстремум функции
- •32. Первообразная функции, интеграл и его свойства
- •33.Таблица интегралов
- •34. Методы вычисления неопределенного интеграла (непосредственное интегрирование, подстановкой, по частям).
- •35. . Интегрирование рациональных дробей.
- •36.Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.
- •37. Универсальная тригонометрическая подстановка.
- •38. Интегрирование иррациональностей.
- •39. Определенный интеграл как предел интегральных сумм.
- •40. Формула Ньютона- Лейбница. Свойства определенного интеграла.
- •41. Методы вычислений определенного интеграла( непосредственное, подстановкой, по частям).
- •42. Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой).
- •57. Дифференциальные уравнения 1 порядка, задача Коши.
- •58 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •59 Однородные ду первого порядка
- •60 Ду, допускающие понижение порядка.
- •2. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.
- •3. Уравнения, однородные относительно .
- •4. Обобщенно - однородные уравнения.
- •5. Уравнение в точных производных.
- •62 Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.
- •63. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида. Метод неопределенных коэффициентов.
- •71. Классификация событий. Сумма, произведение событий, их свойства, графическое представление.
- •72. Различные определения вероятности.
- •73. Теорема умножения вероятностей.
- •74. Схема Бернулли повторных испытаний. Формула Бернулли.
- •75. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
- •77. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Числовые характеристики.
- •78.Законы распределения: биномиальный, Пуассона, равномерный, показательный, нормальный.
- •79. Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин.
- •80. Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма.
5. Уравнение в точных производных.
Рассмотрим уравнения вида , (1)
Такие уравнения называются уравнениями в точных производных. Из последнего равенства следует, что соотношение
является первым интегралом уравнения (1) - уравнением (n-1) - го порядка относительно искомой функции. Таким образом, уравнение в точных производных допускают понижение порядка на единицу.
61 Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение.
Для линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка
y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y' + an(x) y = 0,
1) существуют n линейно независимых решений уравнения y1(x), y2(x), ..., yn(x);
2) при любых значениях констант c1, c2, ..., cn функция y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) является решением уравнения;
3) для любых начальных значений x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 существуют такие значения c*1, c*n, ..., c*n, что решение y*(x)=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) ... + c*n yn (x) удовлетворяет при x = x0 начальным условиям y*(x0)=y0, (y*)'(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.
Выражение y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) называется общим решением линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. Совокупность n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка y1(x), y2(x), ..., yn(x) называется фундаментальной системой решений уравнения.
Для линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами существует простой алгоритм построения фундаментальной системы решений. Будем искать решение уравнения в виде y(x) = exp(lx): exp(lx)(n)+a1exp(lx)(n-1)+...+an-1exp(lx)'+anexp(lx)=(ln+a1ln-1+...+an-1l+an)exp(lx)=0, т.е.число l является корнем характеристического уравнения ln+a1ln-1+...+an-1l+an=0.
Левая часть характеристического уравнения называется характеристическим многочленом линейного дифференциального уравнения: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an. Таким образом, задача о решении линейного однородного уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами сводится к решению алгебраического уравнения. Если характеристическое уравнение имеет n различных действительных корней
l1№ l2 № ... № ln, то фундаментальная система решений состоит из функций y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), ..., yn(x) = exp(lnx), и общее решение однородного уравнения имеет вид:
y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx).
Таким образом, для отыскания общего решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами следует: записать характеристическое уравнение; найти все корни характеристического уравнения l1, l2, ... , ln; записать фундаментальную систему решений y1(x), y2(x), ..., yn(x); записать выражение для общего решения y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x).