- •5. Векторы, основные определения, понятия, действия над ними
- •9. Уравнения прямой на плоскости: с угловым коэффициентом; через две точки; в отрезках, общее уравнение
- •15. Предел числовой последовательности.
- •16. Предел функции, его геометрическая интерпретация, действия над пределами.
- •17. Первый и второй замечательный предел
- •18. Бесконечно малые величины, их свойства, эквивалентность.
- •19. Раскрытие неопределённостей
- •20. Непрерывность функции.Основные определения, теоремы
- •21. Точки разрыва
- •22. Свойство непрерывных функций на сегменте
- •23. Определение производной
- •24. Правила дифференцирования
- •25. Дифференциал функции
- •26. Производные высших порядков
- •27. Правило Лопиталя.
- •28. Применение производных к исследованию
- •30. Теорема Лагранжа, коши
- •31, Экстремум функции
- •32. Первообразная функции, интеграл и его свойства
- •33.Таблица интегралов
- •34. Методы вычисления неопределенного интеграла (непосредственное интегрирование, подстановкой, по частям).
- •35. . Интегрирование рациональных дробей.
- •36.Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.
- •37. Универсальная тригонометрическая подстановка.
- •38. Интегрирование иррациональностей.
- •39. Определенный интеграл как предел интегральных сумм.
- •40. Формула Ньютона- Лейбница. Свойства определенного интеграла.
- •41. Методы вычислений определенного интеграла( непосредственное, подстановкой, по частям).
- •42. Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой).
- •57. Дифференциальные уравнения 1 порядка, задача Коши.
- •58 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •59 Однородные ду первого порядка
- •60 Ду, допускающие понижение порядка.
- •2. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.
- •3. Уравнения, однородные относительно .
- •4. Обобщенно - однородные уравнения.
- •5. Уравнение в точных производных.
- •62 Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.
- •63. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида. Метод неопределенных коэффициентов.
- •71. Классификация событий. Сумма, произведение событий, их свойства, графическое представление.
- •72. Различные определения вероятности.
- •73. Теорема умножения вероятностей.
- •74. Схема Бернулли повторных испытаний. Формула Бернулли.
- •75. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
- •77. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Числовые характеристики.
- •78.Законы распределения: биномиальный, Пуассона, равномерный, показательный, нормальный.
- •79. Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин.
- •80. Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма.
42. Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой).
1. Вычисление площадей плоских фигур.
Площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс , равна соответствующему определенному интегралу:
или |
|
1.Возьмем произвольное и будем считать,что S = S(x).
2.Дадим аргументу х приращение .
Функция S = S(x) получит приращение , представляющее собой площадь «элементарной криволинейной трапеции». Дифференциал площади dS -главная часть приращения при , и он равен площади прямоугольника с основанием dx и высотой
3.Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b,получаем Если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси Ox, то есть , то ее площадь может быть найдена по формуле : Площадь фигуры, ограниченной кривыми и , прямыми х = а и х = b (при ) можно найти по формуле
.
2.Вычисление объема тела вращения
|
Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции и прямыми х=0, у=с, у = d (с < d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу), равен:
3. Определение длины дуги
Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ, уравнение которой у = f(х), где .
Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина ее наибольшего звена стремиться к нулю. Покажем, что если функция у=f(х) и ее производная у' = f'(x) непрерывны на отрезке [а;b], то кривая АВ имеет длину, равную
Применим схему I (метод сумм).1. Точками разобьем отрезок [а;b] на п частей. Пусть этим точкам соответствуют точки на кривой АВ. Проведем хорды , длины которых обозначим соответственно через . Получим ломаную , длина которой равна
57. Дифференциальные уравнения 1 порядка, задача Коши.
Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
F(x, y, y' )=0,
где F — известная функция трех переменных, определенная в области G из R3, x — независимая переменная из интервала (a, b), y(x) — неизвестная функция, y'(x) — ее производная.
Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производной, т.е. уравнения вида
y'=f(x, y)
называют уравнениями в нормальной форме.
Задача Коши. Заключается в нахождении решения u (x, t); х = (x1,..., xn) дифференциального уравнения вида:
, (1)
m0 < m, m > 0,
удовлетворяющего т. н. начальным условиям.
, t = t0, x Î G0, k = 0, …, m-1, (2)
где G0 — носитель начальных данных — область гиперплоскости t = to пространства переменных x1,..., xn. Когда F и fk, k = 0,..., m — 1, являются аналитическими функциями своих аргументов, задача Коши (1), (2) в некоторой области G пространства переменных t, х, содержащей G0, всегда имеет и притом единственное решение. Однако это решение может оказаться неустойчивым (т. е. малое изменение начальных данных может вызвать сильное изменение решения), например в том случае, когда уравнение (1) принадлежит эллиптическому типу.