- •Математические модели и численные методы
- •Структура погрешности при решении задачи на эвм
- •Решение уравнений с одной переменной Постановка задачи
- •Отделение корней
- •I. Графический способ отделения корней
- •II. Отделения корней программным способом.
- •Уточнение корней
- •Метод половинного деления
- •Метод хорд
- •Метод касательных
- •Метод простой итерации
- •Оценка погрешности метода итераций
- •Преобразование к итерационному виду
- •Решение системы линейных алгебраических Постановка задачи
- •Метод Гаусса
- •Метод простой итерации
- •Решение слу методом Зейделя
- •Интерполирование функций Постановка задачи
- •Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов
- •Первая интерполяционная формула Ньютона
- •Вторая интерполяционная формула Ньютона
- •Численное дифференцирование
- •Вычисление производной по определению
- •Вычисление производной на основе интерполяционного многочлена Лагранжа
Математические модели и численные методы
Процесс решения задачи с использованием ЭВМ включает, как правило, следующие этапы:
Математическая постановка задачи и построение математической модели. На данном этапе требуется
определить, что дано, что надо получить;
выделить наиболее существенные свойства изучаемого объекта;
установить между ними количественные соотношения;
Требования к математической модели:
Математическая модель должна быть адекватной, т.е. правильно отражать действительность;
Математическая модель не должна быть слишком сложной.
Алгоритмизация, т.е.
Поиск метода решения задачи в рамках математической модели
Разработка алгоритма (в виде словесного описания, математических формул, блок-схем).
Перевод алгоритма на язык программирования.
Исполнение программы на ЭВМ. В результате – получение результатов решения.
Анализ полученных результатов. Полученные результаты сравниваются с ожидаемыми, с данными, полученными экспериментальным путем.
Методы решения задачи делятся на
Точные:
|
Приближенные
|
Структура погрешности при решении задачи на эвм
Погрешность возникает на ряде этапов решения задачи. Введем обозначения:
R – точное решение задачи (результат);
– приближенное решение задачи;
ε – полная погрешность.
Полная погрешность включает в себя:
Погрешность исходных данных и математической модели. Возникает по причине неточности исходных данных и несоответствия построенной математической модели реальной ситуации. Таким образом, будет получен результат R1≠R.
ε1 – неустранимая погрешность.
Погрешность метода. Возникает, если выбран приближенный (например, численный) метод. Таким образом, будет получен результат R2≠R1.
ε2 – устранимая погрешность.
Погрешность вычислений: .
Таким образом, полная погрешность:
Решение уравнений с одной переменной Постановка задачи
Рассмотрим уравнение вида F(x)=0, где F(x) – определенная и непрерывная на отрезке [a,b] функция.
Корнем уравнения F(x)=0 называется такое значение x*, которое обращает уравнение в верное равенство.
x* - корень уравнения F(x)=0 x* - нуль функции y=F(x).
Решить уравнение – значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней, и найти их значения с заданной степенью точности.
Нахождение корней уравнения состоит из двух этапов:
Отделение корней – выделение промежутков, содержащих ровно 1 корень.
Уточнение корней – нахождение корней с заданной степенью точности.
Отделение корней
Отделение корней может осуществляться графически или программным путем.
I. Графический способ отделения корней
а) Теорема.
Е сли на отрезке [a,b] функция y=F(x) определена и непрерывна, и на его концах принимает значения разных знаков (т.е. F(a)F(b)<0), то уравнение F(x)=0 имеет на этом отрезке, по крайней мере, один корень.
Е сли функция y=F(x) на отрезке [a,b] строго монотонна, то корень единственный.
b
a
Требуется указать отрезок, содержащий нуль функции.
Н апример, пусть требуется отделить корни уравнения x2-x-1=0. Построим график функции y=x2-x-1 и укажем отрезки, содержащие точки пересечения графика функции с осью абсцисс.
Искомые промежутки: [-1; 0] [1; 2].
б) Иногда проще рассмотреть вместо уравнения y=F(x) равносильное ему уравнение f1(x)=f2(x). В этом случае требуется указать отрезок, содержащий абсциссу точки пересечения графиков функций y=f1(x) и y=f2(x).
Н апример, пусть требуется отделить корни уравнения x2-x-1=0. Рассмотрим равносильное ему уравнение x2=x+1. Тогда вместо отрезков, содержащих точки пересечения графика функции y=x2-x-1 с осью абсцисс, можно указать отрезки, содержащие точки пересечения графиков функций f1(x)=x2 и f2(x)=x+1.
Искомые промежутки: [-2; 0] [1; 3].