Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку. Загальні властивості.
Лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку називається рівняння виду
, (8.21)
де
і
неперервні функції на деякому проміжку;
– шукана функція.
Теорема
8.1. Якщо функції
і
частинні розв'язки рівняння (8.21), то
функція
при будь-яких значеннях довільних сталих
також є його розв'язком.
Доведення. Нехай функції
і
є розв'язками рівняння (8.21), тоді
справедливі тотожності
та
.
Покажемо, що функція
також є розв'язком рівняння (8.21). Для
цього двічі продиференціюємо досліджувану
функцію і підставимо
,
,
у диференціальне рівняння (8.21), одержимо
Отже, функція , що містить дві довільні сталі, є розв'язком диференціального рівняння (8.21). Тоді виникає запитання, чи не є така функція загальним розв'язком рівняння.
Щоб відповісти на це питання, розглянемо поняття лінійної залежності функцій.
Будемо називати функції
і
лінійно незалежними, якщо їхня лінійна
комбінація
тільки при
і лінійно залежними, якщо знайдеться
хоча б одне відмінне від нуля число
(
чи
)
таке, що для будь-якого значення аргументу
лінійна комбінація
.
Очевидно, що якщо функції
і
лінійно залежні, то вони пропорційні,
тобто
і, якщо функції
і
лінійно незалежні, то вони не пропорційні,
тобто
.
Так, функції
,
лінійно незалежні, тому що
,
а функції
,
лінійно залежні, оскільки
.
Для лінійно незалежних функцій
,
тобто
.
А це можливо лише при
,
що за допомогою визначника другого
порядку можна записати у вигляді
.
Даний визначник, називається визначником
Вронського для функцій
і
та позначається
.
Отже, для лінійно незалежних функцій і визначник Вронського відмінний від нуля для будь-якого значення аргументу.
Аналогічно, якщо функції
і
лінійно залежні, для них
,
тобто
.
Звідки
,
а це означає, що визначник Вронського
для будь-якого
.
Теорема 8.2. Якщо і два лінійно незалежні частинні розв'язки лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку (8.21) , то функція
, (8.22)
де і – довільні сталі, є його загальним розв'язком.
Доведення. З теореми 8.1 випливає, що
функція
є розв'язком рівняння (8.21) при будь-яких
сталих
і
.
Доведемо тепер, що які б не були початкові умови , , можна так підібрати значення довільних сталих і , щоб відповідний частинний розв'язок задовольняв заданим початковим умовам, тобто
(8.23)
Визначником даної системи лінійних рівнянь, у якій і невідомі числа, є визначник Вронського. Оскільки за умовою функції і лінійно незалежні, то
,
а значить система (8.23) має єдиний розв'язок. Отже, для будь-яких початкових умов завжди можна з розв'язку (8.22) знайти частинний розв'язок, що задовольняє їм, а значить розв'язок (8.22) є загальним.
З доведеної теореми випливає, що для відшукання загального розв'язку (8.22) досить знайти два лінійно незалежних частинних розв'язки і скласти їхню лінійну комбінацію з довільними сталими.