- •Розділ 5. Інтегральне числення функції однієї змінної
- •1. Первісна і невизначений інтеграл
- •2. Основні властивості невизначеного інтеграла
- •3. Таблиця невизначених інтегралів
- •4. Основні методи інтегрування
- •Безпосереднє інтегрування.
- •Заміна змінної при інтегруванні.
- •Інтегрування раціональних дробів.
- •Інтегрування ірраціональних функцій.
- •Інтегрування трансцендентних функцій.
- •5. Поняття визначеного інтегралу
- •6. Геометричний зміст визначеного інтеграла
- •7. Економічний зміст визначеного інтеграла
- •8. Властивості визначеного інтеграла
- •11) Теорема про середнє значення інтегралу.
- •9. Формула Ньютона–Лейбніца
- •10. Заміна змінної у визначеному інтегралі
- •11. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
- •12. Невласні інтеграли
- •Невласні інтеграли з нескінченними границями інтегрування.
- •Невласні інтеграли від необмежених функцій.
- •13. Наближене обчислення визначених інтегралів
- •Спосіб прямокутників.
- •Спосіб трапецій.
- •Спосіб парабол.
- •14. Застосування інтеграла в геометричних задачах Площа в декартовій системі координат.
- •Площа в полярній системі координат.
- •Довжина дуги.
- •15. Застосування інтеграла в задачах економіки
- •Додаткова вигода чи лишок виробника (продавця).
- •Знаходження капіталу (основних фондів) за відомими чистими інвестиціями.
- •Обернена задача для знаходження вартості ануїтету (регулярних платежів) щодо неперервних відсотків.
- •Розділ 6. Інтегральне числення функцій багатьох змінних
- •1. Об'єм циліндричного тіла
- •2. Означення подвійного інтеграла
- •3. Властивості подвійного інтеграла
- •4. Обчислення подвійного інтеграла
- •5. Застосування подвійного інтеграла в геометрії Площа плоскої фігури.
- •Площа поверхні.
- •6. Застосування подвійного інтеграла у фізиці Маса плоскої пластини.
- •Статичні моменти.
- •Координати центра мас.
- •Моменти інерції.
- •7. Поняття про потрійний інтеграл
- •8. Заміна змінних в потрійному інтегралі
- •9. Застосування потрійного інтеграла у фізиці
- •Розділ 7. Ряди
- •1. Числові ряди. Основні поняття
- •2. Властивості числових рядів
- •3. Необхідна ознака збіжності ряду
- •4. Достатні ознаки збіжності знакопостійних рядів Ознака порівняння.
- •Ознака порівняння в граничній формі.
- •Ознака Даламбера.
- •Радикальна ознака Коші.
- •Інтегральна ознака Коші.
- •5. Знакопочережні числові ряди. Ознака Лейбніца
- •Ознака Лейбніца.
- •6. Знакозмінні числові ряди
- •7. Функціональні ряди. Основні поняття
- •8. Область збіжності степеневого ряду
- •9. Ряди Тейлора і Маклорена
- •10. Розвинення функцій в ряд Маклорена
- •11. Застосування степеневих рядів
- •Обчислення значень функцій.
- •Наближене обчислення визначених інтегралів.
- •Доведення формули Ейлера.
- •12. Динамічні ряди
- •Розділ 8. Диференціальні рівняння
- •1. Економічні задачі, що приводять до диференціальних рівнянь. Основні означення
- •2. Диференціальні рівняння першого порядку
- •Диференціальні рівняння першого порядку з подільними змінними.
- •Однорідні диференціальні рівняння першого порядку.
- •Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.
- •Рівняння Бернуллі.
- •Рівняння в повних диференціалах.
- •3. Диференціальні рівняння другого порядку
- •Деякі диференціальні рівняння другого порядку, що допускають зниження порядку.
- •Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку. Загальні властивості.
- •4. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
- •5. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку. Метод варіації довільних сталих
- •6. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
- •7. Системи диференціальних рівнянь
- •Системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.
- •8. Задачі економічної динаміки
Ознака порівняння в граничній формі.
Якщо для рядів і виконується необхідна ознака збіжності і
,
то ряди поводять себе однаково: або обидва є збіжними, або обидва є розбіжними.
Нехай існує скінченна границя . За означенням границі або . Звідки . Тому .
Тоді, якщо ряд збіжний, то збіжний і ряд , а отже збіжний і ряд .
Якщо ряд розбіжний, ряд також розбіжний, а отже, розбіжний і ряд .
Приклад 7.5. Дослідити на збіжність ряд .
Розв’язання. Порівняємо ряд з рядом , застосувавши ознаку порівняння в граничній формі.
Тут (на підставі першої істотної границі). Отже, ряди поводять себе однаково і ряд розбіжний, як і гармонічний ряд .
Ознака Даламбера.
Нехай для знакододатнього ряду існує границя відношення наступного члена ряду до попереднього при і дорівнює скінченному числу : .
У такому випадку, якщо ця границя менша від одиниці, то ряд є збіжним. Якщо границя більша від одиниці, то ряд розбіжний. Якщо границя дорівнює одиниці, то ознака однозначної відповіді щодо збіжності чи розбіжності ряду не дає.
Нехай є знакододатній ряд і нехай
.
Тоді, починаючи з деякого номера члена буде виконуватися нерівність
,
де – як завгодно мале наперед задане додатнє число. Звідси для всіх номерів буде виконуватися нерівність
.
Нехай . Тоді можна взяти число настільки малим, що число також буде меншим від одиниці. Нехай .
Тоді або для всіх . Тоді одержуємо
, , , ...
Додавши нерівності, одержимо:
.
Але оскільки число , то у правій частині нерівності маємо геометричний ряд, що збігається. Тоді за ознакою порівняння ряд в лівій частині нерівності також збіжний. Отже на підставі властивості 3 числових рядів заданий ряд також збіжний.
Нехай тепер , тобто . Але тоді , що свідчить про те, що члени ряду не спадають, тобто для нього не виконується необхідна ознака збіжності ряду, тобто ряд розбіжний.
Якщо ж , можна показати, що ознака однозначної відповіді не дає. В одних випадках ряд є збіжним, в інших – розбіжний. Для дослідження ряду потрібно застосовувати яку-небудь іншу ознаку збіжності.
Приклад 7.6. Дослідити на збіжність ряди:
а) ; б) ; в) .
Розв’язання. У випадку а): , і . Отже ряд збіжний.
У випадку б): , і . Ряд розбіжний.
У випадку в): , і . Ознака Даламбера відповіді не дає.
Радикальна ознака Коші.
Якщо для ряду з невід’ємними членами існує , то при ряд збіжний, при ряд розбіжний, при ознака відповіді не дає.
Нехай . Візьмемо число , що задовольняє умові . Тоді знайдеться такий номер члена послідовності , починаючи з якого виконується нерівність . Підставляючи значення , , ..., одержуємо:
; ; ; ... .
Додаючи нерівності маємо:
.
У правій частині нерівності – геометричний ряд, що є збіжним. На підставі ознаки порівняння ряд збіжний, а значить і ряд також є збіжним.
Приклад 7.7. Дослідити на збіжність ряд .
Розв’язання. Тут , і . Отже ряд збіжний.
Інтегральна ознака Коші.
Якщо для знакододатнього ряду формула загального члена така, що відповідна їй функція неперервного аргументу невід’ємна, неперервна, яка монотонно спадає на півінтервалі , то невласний інтеграл і ряд є збіжними і розбіжними одночасно.
Доведення проведемо на підставі геометричного змісту визначеного інтеграла.
Зобразимо графічно – площу криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком функції , знизу – проміжком вісі абсцис (рис. 7.1).
Дано , , , ..., .
Рис. 7.1.
Обчислюючи площу криволінійної трапеції наближено з недостачею як суму площ прямокутників з основою, рівною одиниці і висотою, рівною значенню функції в правому кінці основи, одержимо
.
Якщо ж обчислити площу криволінійної трапеції наближено з надлишком як суму площ прямокутників, з основою, рівною одиниці і висотою, рівною значенню функції в лівому кінці основи, одержимо
,
тобто
.
Звідси:
; (7.7)
. (7.8)
Нехай інтеграл збіжний. Це значить, що існує скінченна границя .
Оскільки , то послідовність зростає зі збільшенням і обмежена зверху своєю границею: . З нерівності (7.7) випливає, що , тобто послідовність частинних сум обмежена зверху, а значить має скінченну границю, ряд є збіжним.
Нехай тепер розбіжний. У цьому випадку при .
З нерівності (7.8) випливає, що при , отже ряд є розбіжним.
Дослідимо дуже важливий за своїм застосуванням узагальнений гармонічний ряд (ряд Діріхле), що має вигляд
,
де – будь-яке додатнє число (при маємо простий гармонічний ряд).
Дослідимо ряд за допомогою інтегральної ознаки збіжності.
Тут , що відповідає функції неперервного аргументу .
Для невласний інтеграл має вигляд
.
При маємо .
При – .
При – .
Отже, ряд Діріхле є збіжним при і розбіжним при . Зокрема, ряд збіжний, тому що для нього , чого не можна було встановити за допомогою ознаки Даламбера.