Тема 11. Методика изучения умножения и деления чисел в пределах 100

План.

1. Основные понятия математики.

2. Табличное умножение и деление:

а) Раскрытие смысла действий умножения и деления; подготовка учащихся к изучению таблицы умножения и деления.

б) Методика изучения таблицы умножения и деления.

2. Методика изучения внетабличных случаев умножения и деления в пределах 100.

3. Изучение деления с остатком.

1. Основные понятия математики

Произведением целых неотрицательных чисел a и b называется та­кое целое неот­рицательное число ab, которое удовлетворяет следующим условиям:

1) ab = a + a + ... + a (b раз) при b > 1;

2) a1 = 1 при b = 1;

3) a0 = 0 при b = 0.

Данное определение имеет следующее теоретико-множественное обоснование. Пусть даны b попарно непересекающихся множеств A₁, A₂, …, A_b, каждое из которых содержит a элементов. Тогда их объединение содержит a·b элементов.

Деление чисел связано с разбиением конечных множеств на равночисленные по­парно непересекающиеся подмножества. При этом решаются две задачи: нахождение числа элементов в каждом подмножестве (деление на части) и нахождение числа та­ких подмножеств (деление по содержанию).

Пусть a=n(A) и множество A разбито на попарно непересекающиеся равномощные подмножества. Частным чисел a и b называется:

- число подмножеств в этом разбиении, если b - число элементов каждого подмно­же­ства в разбиении множества A;

- число элементов в каждом подмножестве, если b - число подмножеств в разбие­нии множества A.

Если даны числа a и b, такие, что a=n(A), b=n(B), a>b, и множество A можно раз­бить на n подмножеств, равномощных множеству B, то говорят, что число a больше b в n раз, а число b меньше числа a в n раз.

Невозможность деления на нуль также имеет свое теоретико-множественное ис­толкование. Если a0, а b=0, то невозможность деления a на b вытекает из невозмож­ности представления непустого конечного множества A (n(A) = a) в виде объединения пустых подмножеств.

2. Табличное умножение и деление

Тема «Умножение и деление чисел в пределах 100» является одной из ос­новных тем начального курса математики.

В изучении этой темы выделяются такие виды умножения и деления:

1. Табличное умножение и деление.

2. Внетабличное умножение и деление.

3. Деление с остатком.

К табличному умножению и делению относятся случаи умножения одно­значных натуральных чисел на однозначное число и соответствующие случаи деления.

Примеры: 53=15 15:3=5

74=28 28:7=4 и т.п.

При изучении этого вида умножения и деления необходимо:

1. познакомить детей с новыми для них действиями умножения и деле­ния,

2. изучить таблицу умножения и деления.

Таким образом, табличное умножение и деление, в свою очередь, разбива­ется на два вопроса:

1. знакомство с действиями умножения и деления;

2. изучение таблицы умножения и деления.

1а. Знакомство с действиями умножения и деления.

Отметим, что, значит, познакомить детей с действиями умножения и деле­ния.

Это значит:

• раскрыть смысл каждого из этих действий;

• ввести соответствующую терминологию;

• рассмотреть некоторые свойства действий, установить зависимости между ними.

Прежде всего, следует отметить, что работа по раскрытию смысла этих действий начинается еще в 1 классе. Здесь:

• ведется счет группами;

• вычисляются суммы нескольких одинаковых слагаемых;

• решаются простые задачи: на нахождение суммы нескольких одинако­вых слагаемых, на деление по содержанию, и деление на равные части.

Задачи на деление решаются там только практически (устно).

Во 2 классе эта работа получает свое естественное продолжение. Вначале происходит знакомство с действием умножения. Смысл этого действия раскры­вается через решение простых задач на нахождение суммы нескольких одина­ковых слагаемых.

Пример. Задача. В одном пучке 3 морковки. Сколько морковок в 4-х таких пучках?

Выполнив соответствующую демонстрацию, учитель с детьми выясняет, что для ответа на вопрос задачи нужно найти сумму 4-х слагаемых, каждое из которых равно 3.

3+3+3+3=12 (м.)

Обращается внимание на то, что все слагаемые полученной суммы одина­ковые. Поэтому эту сумму можно прочитать по-другому: по 3 взять четыре раза и записать так 34=12. Т.Е. сложение одинаковых слагаемых называют умноже­нием. Точка обозначает знак действия умножения.

Дается образец чтения этой записи 34=12.

1. по 3 взять четыре раза.

2. 3 умножить на 4.

Обращается внимание на смысл каждого числа в этой записи:

3 – это слагаемое, 4 – показывает, сколько одинаковых слагаемых.

Смысл действия деления раскрывается в ходе решения простых задач двух видов:

• деление по содержанию;

• деление на равные части.

Задача. 6 морковок раздали кроликам по две каждому. Сколько кроликов получили морковки?

Для решения этой задачи необходимо выполнение практических действий с предметами, как учителем, так и учащимися.

Разговор может быть таким:

У. - У меня 6 морковок, а вы положите столько же треугольников. Будем раздавать их кроликам по 2, я у доски, а вы на партах. (Раздвигаются по 2 морковки и выставляются изображения кроликов). Сколько кроликов получили морковки?

Д. – 3.

У. – Давайте запишем решение этой задачи. Мы морковки раздавали, делили, и решение будем записывать новым действием – делением. Это записывается так: 6:2=3 (к.) Ответ: 3 кролика.

« : » - знак деления.

Аналогично рассматриваются задачи на деление на равные части. При этом также необходима демонстрация с использованием предметной наглядности.

Пример. 6 морковок раздали 3 кроликам поровну. Сколько морковок дали каждому кролику?

Здесь нужно показать и принцип деления на равные части. Выставив изо­бражение 3-х кроликов, выясняем, сколько морковок надо взять, чтобы дать им по одной морковке? - 3. Берем и раздаем.

Операцию повторяем до тех пор, пока не кончатся все морковки.

Эта за­дача решается также действием деления.

6:3=2 (мор.) Ответ: 2 морковки.

После знакомства с каждым из действий вводятся названия компонен­тов и результата каждого из этих действий (методика уже известна).

Изучается переместительное свойство умножения. (Методика изучения свойств действий нами рассмотрена (см. тему № 3).

Рассматривается зависимость между компонентами и результа­том вначале для действия умножения, затем – деления. (Методику рассмотре­ния зависимости смотреть в теме +, - в пределах 10).

При рассмотрении зависимости между компонентами и результатом дей­ствия умножения мы подводим детей к выводу: если произведение разделить на первый множитель, получим второй множитель и т.д.

И как следствие этого, показываем, что для каждого примера на умноже­ние, можно составить два примера на деление.

Пример. 53=15

15:5=3

15:3=5.

Здесь же рассматриваются и некоторые частные случаи умноже­ния и деления с числами 1 и 10:

а) с числом 1.

Сначала берется случай умножения 1 на число, большее 1.

13=1+1+1=3,

15=1+1+1+1+1=5.

П осле решения ряда примеров на основе смысла действия умножения подводим детей к выводу: 1 = .

С лучай 1 постулируется. Детям сообщается правило и приводятся примеры.

Деление на 1 вводится на основе зависимости между компонентами и ре­зультатом действия умножения.

Из решения соответствующих примеров 15=5;  5:1=5 подводим де­-

тей к выводу : 1 = .

Умножение 10 и деление на 10 рассматривается с использованием знания нумерации и связи между действиями умножения и деления:

103  1 д.  3 = 3 д.  103=30

310=103.

Случаи вида 30:10 рассматриваются на основе зависимости между ком­понентами и результатом действия деления.

Все перечисленные нами вопросы помогут нам при рассмотрении сле­дующего вопроса, т.е. при изучении таблицы умножения. Рассматривая их, мы вели подготовку детей к изучению таблицы умножения.