2. Види середніх величин
В практиці статистичної обробки інформації в залежності від особливостей досліджуваних явищ застосовуються різні види
середніх величин.
Середні величини в статистиці належать до класу степеневих середніх, які описує формула:
де х — рівень ознаки, варіанти; n — число варіантів; m — показник степеня середньої.
Зміна степеня середньої величини визначає її вигляд:
при m — 1 — середня арифметична;
при m = 0 — середня геометрична;
при m — -1 — середня гармонічна;
при m = 2 — середня квадратична;
при m = 3 — середня кубічна.
Із степеневих середніх у статистиці найчастіше використовують середню арифметичну, рідше — середню гармонічну, середню геометричну — тільки для обчислення середніх темпів динаміки, а середню квадратичну — для розрахунків показників варіації. Середню кубічну для статистичних розрахунків майже не використовують.
Залежно від характеру вихідної інформації середня будь-якого виду може бути простою чи зваженою. Середня величина позначається % (риска над символом означає осереднення індивідуальних значень) і має таку саму одиницю вимірювання, як і індивідуальна ознака.
Питання про те, який вид середньої слід використати в кожному ' окремому випадку, вирішується шляхом конкретного аналізу досліджуваної сукупності і визначається матеріальним змістом досліджуваного явища.
3. Середня арифметична проста і зважена
Одним із найпоширеніших видів середніх величин є середня арифметична. її застосовують в тих випадках, коли обсяг варіаційної ознаки для всієї сукупності формується як сума значень ознаки окремих одиниць досліджуваної сукупності.
Середня арифметична може бути простою і зваженою. Розглянемо розрахунок середньої арифметичної простої на наступному прикладі:
Припустимо, що треба обчислити середній рівень кваліфікації бригади із 10 робітників, тарифний розряд яких складає:
Наведена формула має назву середньої арифметичної простої і застосовується тоді, коли розрахунок здійснюють на основі первинних, не згрупованих даних. Проте в практиці аналітичної роботи нерідко виникає потреба розрахувати середні величини на основі згрупованих даних, передусім даних варіаційного ряду розподілу. Наприклад, наведені у попередньому прикладі дані про тарифні розряди робітників бригади, можна об'єднати в групи і записати у вигляді варіаційного ряду розподілу:
У наведеному ряді розподілу варіанти — це розряди. Кожна з варіант має відповідну частоту, тобто кількість робітників. \ Іри обчисленні середньої за даними варіаційного ряду розподілу дня визначення загального обсягу ознаки слід кожну з варіант помножити на частоту і отримані результати додати. Таке множення варіантів на їхні частоти в статистиці називають зважування м, а обчислена в такий спосіб середня — середньою арифметичною зваженою.
Обчислення середньої арифметичної зваженої в наведеному 111 > 11 к j і а ді матиме такий вигляд:
В таких випадках для обчислення середньої величини спочатку потрібно перетворити інтервальний ряд на дискретний, для чого треба визначити середнє значення інтервалу кожної групи (центр інтервалу).
Середнє значення інтервалу дорівнює півсумі його верхньої
та нижньої меж:
Таким чином, для обчислення середньої арифметичної зваженої виконуються такі послідовні операції: знаходження добутків варіантів та їх частот, додавання одержаних добутків, ділення суми добутків на суму частот.
Частоти варіантів можуть бути не тільки абсолютними величинами, а й відносними у вигляді часток або відсотків.
Середня арифметична зважена застосовується у тих випадках, коли варіанти мають різні частоти. Використання незваженої середньої у таких випадках неприпустимо, тому що це неминуче призводить до викривлення статистичних показників.
Часто середні величини обчислюють за даними не тільки дискретних, а й інтервальних рядів розподілу, коли варіанти ознаки подають у вигляді інтервалу (від ... до), як наприклад, у таблиці 5.2.
Якщо в рядах розподілу є відкриті інтервали, так як у наведеному прикладі, то в таких рядах величина інтервалу першої групи умовно дорівнює величині інтервалу наступної групи, а величина інтервалу останньої групи — величині інтервалу попередньої групи. У нашому прикладі центр інтервалу буде дорівнювати:
Виконавши ці розрахунки, визначаємо середній змінний виробіток деталей за формулою середньої арифметичної зваженої:
4. Математичні властивості середньої арифметичної Обчислення середньої арифметичної способом моментів
Середня арифметична має певні математичні властивості, використання яких дає можливість значно спростити її обчислення. Розглянемо найважливіші з цих властивостей.
1. Добуток середньої на суму частот завжди дорівнює сумі добутку варіантів на частоти, тобто
3. Якщо всі варіанти збільшити (зменшити) в / разів, то середня арифметична збільшується (зменшується в стільки ж разів, тобто
4. Алгебраїчна сума відхилень окремих варіант ознаки від середньої дорівнює нулю.
Викладені вище властивості середньої арифметичної дають можливість в багатьох випадках суттєво спростити її обчислення і, особливо, при розрахунках з великими числами або при великій їх кількості.
На підставі другої та третьої властивостей можна:
відняти від кожної варіанти стале число, найкраще вибрати варіанту з найбільшою частотою;
поділити всі варіанти на стале число, переважно за таке беруть інтервал.
Обчислення середньої арифметичної за вказаним способом дістало в статистиці назву способу відліку від умовного нуля, або способу моментів.
Обчислення середньої способом моментів використовують у рядах з рівними інтервалами і розрахункова формула має такий вигляд: % = mj + А, де момент першого порядку обчислюють за формулою:
Розглянемо приклад методики обчислення середньої способом моментів за даними таблиці 5.3.
5. Сума квадратів відхилень окремих варіант ознаки від середньої менша, ніж від будь-якої іншої величини
6 . Якщо всі частоти.
При здійсненні розрахунків, результати яких наведено в таблиці 5.3, за А приймаємо один із центральних варіантів ряду розподілу, зокрема той, що має найбільшу частоту (А = 1300). За і доцільно взяти розмір інтервалу (і = 200).
Тепер аби визначити середню величину, потрібно момент першого порядку помножити на величину інтервалу, на який ділили всі варіанти, і додати до знайденого добутку значення варіанти, яке віднімали.
Потреба у використанні спрощених способів обчислення середньої сьогодні досить незначна, оскільки дедалі більшого поширення набуває використання ЕОМ. Це дає змогу виконувати розрахунки на підставі вихідних індивідуальних даних незалежно від їх кількості.