1. Основы теории

Теплопередача – это процесс переноса теплоты от одного теплоносителя к другому через разделяющую стенку. Теплопередача связана с весьма сложными процессами, и при ее изучении необходимо знать законы теории теплообмена и методы анализа, применяемые в физике, термодинамике и гидродинамике.

Сложный процесс переноса теплоты разбивают на ряд более простых. Такой прием упрощает его изучение. Кроме того, каждый простой процесс переноса теплоты подчиняется своим законам. Существует три простейших способа передачи теплоты:

• теплопроводность;

• конвекция;

• излучение (радиация).

Теплопроводность – это перенос теплоты структурными частицами вещества (молекулами, атомами, электронами) в процессе их теплового движения. При нагревании тела, кинетическая энергия его молекул возрастает и частицы более нагретой части тела, сталкиваясь с соседними молекулами, сообщают им часть своей кинетической энергии. Такой теплообмен может происходить в любых телах с неоднородным распределением температур.

Явление теплопроводности заключается в том, что кинетическая энергия атомов и молекул, которая определяет температуру тела, передаётся другому телу при их взаимодействии или передаётся из более нагретых областей тела к менее нагретым областям. Иногда теплопроводностью называется также количественная оценка способности конкретного вещества проводить тепло.

Конвекция (конвективный теплоперенос) – это перенос теплоты в пространстве при перемещении и перемешивании макрообъёмов вещества. Конвекция характерна для жидкостей и газов, где перемещение макрообъёмов легко осуществляется с помощью специальных устройств (насосы, мешалки и т.п.).

Когда движение макрообъёмов происходит под действием внешних сил, конвекцию называют вынужденной.

Если движение возникает только под влиянием гравитации, то конвекцию называют естественной или свободной. Естественная конвекция возникает тогда, когда нагретые слои жидкости или газа оказываются расположенными ниже более холодных слоёв. Тогда из-за разницы плотностей нагретых и холодных слоёв возникают подъёмные силы, вызывающие их перемещение [4, 5].

Следует иметь ввиду, что одновременно с конвекцией всегда существует и теплопроводность. Однако конвекция обычно является определяющей, т.к. она интенсивнее теплопроводности.

Конвекцией можно передавать теплоту на очень большие расстояния (например, при движении газа по трубам). Движущаяся среда (жидкость или газ), используемая для переноса теплоты, называется теплоносителем.

Третьим способом переноса теплоты является излучение. За счет излучения теплота передается во всех лучепрозрачных средах, в том числе и в вакууме. Носителями энергии при теплообмене излучением являются фотоны, излучаемые и поглощаемые телами, участвующими в процессе теплообмена.

В большинстве случаев перенос тепла осуществляется несколькими способами одновременно. Например, конвективная теплопередача от газа к стенке практически всегда сопровождается параллельным переносом теплоты излучением.

Передачу теплоты от поверхности твердого тела в жидкую или газообразную среду называют теплоотдачей. Так же называют и процесс противоположной направленности, когда тепло отдаётся от теплоносителя в стенку.

Перенос теплоты от более нагретой среды к менее нагретой через разделяющую их стенку называют теплопередачей. Понятно, что теплопередача – это более сложный процесс, включающий в себя две теплоотдачи (с обеих сторон стенки) и теплопроводность через однослойную или многослойную стенку.

Интенсивность переноса теплоты характеризуется плотностью теплового потока. Плотность теплового потока - это количество теплоты, передаваемое в единицу времени через единичную площадь поверхности теплообмена, q, Вт/м²:

. (1)

Поверхность теплообмена– это поверхность, через которую происходит передача тепла, F, м². Например, при остывании теплоносителя в трубе диаметром d и длиной l, тепло передается от горячего теплоносителя к окружающей среде через цилиндрическую поверхность трубы. В этом случае

. (2)

Перенос теплоты зависит от распределения температуры по объему тела или пространства. Температурным полем называется совокупность мгновенных значений температуры во всех точках тела или системы тел в данный момент времени. Математическое описание температурного поля имеет вид:

. (3)

Температурное поле, описываемое приведенным уравнением, называется нестационарным. В этом случае температуры зависят от времени.

В том случае, когда распределение температуры в теле не изменяется со временем, температурное поле называется стационарным:

. (4)

Если температура изменяется только по одной или двум пространственным координатам, то температурное поле называется соответственно одно- и двухмерным:

, (5)

. (6)

Температурные поля (3) и (4) называются трехмерными.

Поверхность, во всех точках которой температура одинакова, называется изотермической. Изотермические поверхности могут быть замкнутыми, но не могут пересекаться. Быстрее всего температура изменяется при движении в направлении, перпендикулярном изотермической поверхности. Скорость изменения температуры по нормали к изотермической поверхности характеризуется градиентом температуры.

Градиент температуры (grad (t)) - есть вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности и численно равный производной от температуры по этому направлению.

Теория теплопроводности рассматривает тело как непрерывную среду. Согласно закону Фурье (основному закону теплопроводности) вектор плотности теплового потока, передаваемого теплопроводностью, пропорционален вектору градиента температуры:

, (7)

где – коэффициент теплопроводности, Вт/(мК). Он характеризует способность вещества, из которого состоит рассматриваемое тело, проводить теплоту. Знак «–» указывает на противоположное направление вектора теплового потока и вектора градиента температуры. Вектор плотности теплового потока q всегда направлен в сторону наибольшего уменьшения температуры.

Коэффициент теплопроводности является физическим параметром и зависит от химической природы вещества и его физического состояния (плотности, влажности, давления, температуры).

В большинстве практических задач приближенно предполагается, что коэффициент теплопроводности не зависит от температуры и одинаков по всей толщине стенки. Значение находят в справочниках при средней температуре .

Интенсивность конвективного теплообмена (тепловой поток) описывается законом Ньютона-Рихмана:

, (8)

где – коэффициент теплоотдачи, Вт/(м²·К), является коэффициентом пропорциональности между тепловым потоком Q, поверхностью теплообмена F и температурным напором .

Из выражения (8) следует:

. (9)

Для определения коэффициента теплоотдачи применяют экспериментальный метод исследования.

Достоинством экспериментального метода является достоверность получаемых результатов. Основное внимание можно сосредоточить на изучении величин, представляющих наибольший практический интерес.

Основным недостатком этого метода является то, что результаты данного эксперимента не могут быть использованы применительно к другому явлению, которое в деталях отличается от изученного. Поэтому выводы, сделанные на основании анализа результатов данного экспериментального исследования, не допускают распространения их на другие явления.

Следовательно, при экспериментальном методе исследования каждый конкретный случай должен служить самостоятельным объектом изучения.

Основная трудность, возникающая при экспериментальном исследовании конвективного теплообмена, заключается в том, что коэффициент теплоотдачи зависит от многих параметров. Поэтому при исследовании конвективного теплообмена применяют теорию подобия.

Теория подобия – это наука о подобных явлениях. Подобными явлениями называются такие физические явления, которые одинаковы качественно по форме и по содержанию, т.е. имеют одну физическую природу, развиваются под действием одинаковых сил и описываются одинаковыми по форме дифференциальными уравнениями и краевыми условиями.

Обязательным условием подобия физических явлений должно быть геометрическое подобие систем, где эти явления протекают. Два физических явления будут подобны лишь в том случае, если будут подобны все величины, которые характеризуют их.

Для всех подобных систем существуют безразмерные комплексы величин, которые называются критериями подобия.

Основные положения теории подобия формулируют в виде 3-х теорем подобия.

1 теорема: Подобные явления имеют одинаковые критерии подобия.

2 теорема: Любая зависимость между переменными, характеризующая какие-либо явления, может быть представлена, в форме зависимости между критериями подобия, составленными из этих переменных, которая будет называться критериальным уравнением.

3 теорема: Два явления подобны, если они имеют подобные условия однозначности и численно одинаковые определяющие критерии подобия.

Условиями однозначности являются:

• наличие геометрического подобия систем;

• наличие одинаковых дифференциальных уравнений;

• существование единственного решения уравнения пр заданных граничных условиях;

• известны численные значения коэффициентов и физических параметров.

Используя теорию подобия, из системы дифференциальных уравнений можно получить уравнения теплоотдачи в критериальной форме для конвективного теплообмена при вынужденном течении жидкости в трубах.

Процессы теплоотдачи неразрывно связаны с условиями движения жидкости. Как известно, имеется два основных режима течения: ламинарный и турбулентный.

Ламинарный режим течения – режим, при котором частицы движутся упорядоченно, слои не перемешиваются друг с другом.

Турбулентный режим течения – режим, когда частицы совершают неупорядоченные движения, в результате чего различные слои жидкости интенсивно перемешиваются.

Гладкая труба.

Рассмотрим теплопередачу между двумя жидкостями через разделяющую их цилиндрическую стенку.

Имеется цилиндрическая гладкая труба (рис. 1) с внутренним диаметром d₁, внешним диаметром d₂, длиной l. Стенка трубы однородна и имеет теплопроводность λ_с. Внутри трубы движется горячий теплоноситель (вода) с температурой t_ж1, а с наружной стороны трубы – холодный теплоноситель (воздух) с температурой t_ж2. Температуры внутренней и внешней поверхностей стенки трубы обозначены t_с1 и t_с2 соответственно.

1) Сначала теплота передается от горячего теплоносителя t_ж1 к поверхности стенки путем конвективного теплообмена, который может сопровождаться излучением. Интенсивность процесса теплоотдачи характеризуется коэффициентом теплоотдачи ₁.

2) Затем теплота теплопроводностью переносится поочередно от одной поверхности стенки к другой, которая характеризуется коэффициентом теплопроводности  (₁, …, _n – для многослойной стенки).

3) И, наконец, теплота опять путем конвективного теплообмена передается от поверхности стенки к холодной жидкости t_ж2. Этот процесс характеризуется коэффициентом теплоотдачи ₂.

Рис. 1. – Теплопередача через однослойную цилиндрическую стенку

При стационарном режиме линейную плотность теплового потока через цилиндрическую стенку можно записать следующим образом:

по закону Ньютона - Рихмана

, (10)

по закону Фурье

, (11)

по закону Ньютона - Рихмана

. (12)

После математических преобразований получим линейную плотность теплового потока:

. (13)

где K_l - линейный коэффициент теплопередачи, Вт/(мК)

. (14)

При значениях d₂/d₁ близких к единице расчеты по формулам (11), (14) должны производиться с высокой точностью, т.к. при округлении d₂/d₁ до одного знака после запятой погрешность вычисления логарифма будет больше 10%. С точностью до 4% при d₂/d₁ < 2 в практических расчетах рекомендуется пользоваться формулами для плоской стенки.

Граничные температуры цилиндрической стенки определяются как

, (15)

. (16)

Количество теплоты, отдаваемое теплоотдачей за единицу времени горячим теплоносителем, называемое тепловым потоком, Вт:

. (17)

Тепловой поток, принятый в результате теплоотдачи холодным теплоносителем за единицу времени, Вт:

. (18)

Тепловой поток, передаваемый через стенку теплопроводностью за единицу времени, Вт:

, (19)

Тепловой поток, переданный от горячего теплоносителя холодному через стенку в результате теплопередачи, Вт:

. (20)

Для нахождения коэффициента теплоотдачи используются критериальные уравнения, устанавливающие связь между безразмерными критериями подобия

. (21)

Число Нуссельта ( ) характеризует в безразмерном обобщённом виде интенсивность конвективного теплообмена между поверхностью тела и потоком газа (жидкости)

, (22)

где – теплопроводность жидкости при температуре t_ж1, Вт/(м·К).

Число Грасгофа ( ) – критерий свободной тепловой конвекции

, (23)

где g = 9,81 м/с² – ускорение свободного падения; – коэффициент объёмного расширения, К^-1; – коэффициент кинематической вязкости, м²/c. Значения и выбираются по справочнику при определяющей температуре t_ж1.

Число Рейнольдса ( ) – критерий режима движения жидкости

, (24)

где – средняя скорость движения теплоносителя, м/с.

Коэффициент теплоотдачи от воды к внутренней поверхности трубы , Вт/(м²·К), определяется из формулы (22):

, (25)

где число Нуссельта находится из выражений:

а) ламинарный режим ( 2310)

; (26)

б) турбулентное течение ( > 10 000, Pr > 0,5)

. (27)

Таблица 1

Значения коэффициента ε_l [6]

Значения критерия Reж,d	Отношение l/d
	10	20	30	40	50 и более
1·104	1,23	1,13	1,07	1,03	1
2·104	1,18	1,10	1,05	1,02	1
5·104	1,13	1,08	1,04	1,02	1
1·105	1,10	1,06	1,03	1,02	1
1·106	1,05	1,03	1,02	1,01	1

Здесь: определяющей температурой является средняя температура жидкости (t_ж1) в гладкой труде; определяющим размером является внутренний диаметр трубы (d₁); – поправочный коэффициент, учитывающий влияние на коэффициент теплоотдачи отношения длины трубы l к её внутреннему диаметру d₁ (см. табл. 1).

Для расчёта среднего коэффициента теплоотдачи при свободном движении воздуха около горизонтальной трубы используется критериальная зависимость

, (28)

где определяющим размером является внешний диаметр гладкой трубы d₂, а определяющей температурой – t_ж2.

Значение коэффициента теплоотдачи , Вт/(м²·К), определяется по формуле:

, (29)

где – теплопроводность воздуха при температуре t_ж2, Вт/(м·К).

Коэффициент теплопередачи k_гл на 1 м длины гладкой трубы, Вт/(м·К), определяется по формуле:

. (30)

Интенсификация теплопередачи

Согласно уравнению (20), для интенсификации теплопередачи нужно либо увеличить числитель (t_ж1-t_ж2), либо уменьшить знаменатель. Температуры теплоносителей обусловлены требованиями технологического процесса, поэтому изменить их обычно не удается.

Интенсивность теплопередачи можно увеличить, воздействуя на любую из составляющих. Однако эффективнее уменьшить наибольшее из слагаемых:

. (31)

Значит, для существенного увеличения теплового потока необходимо оребрять стенку со стороны жидкости с меньшим коэффициентом теплоотдачи .

Аналогичного результата можно достичь увеличив и больший коэффициент теплоотдачи, но для этого требуются дополнительные затраты мощности на увеличение скорости течения теплоносителя.

Ребристая труба.

При передаче тепла через цилиндрическую стенку величина линейных термических сопротивлений теплоотдачи определяется не только величиной коэффициентов теплоотдачи, но и размерами самих поверхностей. Отсюда следует, что если значение коэффициента теплоотдачи мало, то термическое сопротивление теплоотдачи можно уменьшить путём увеличения соответствующей поверхности. Например, для показанной на рис. 2 цилиндрической стенки одну из её поверхностей можно увеличить путём оребрения. Последнее обстоятельство и положено в основу интенсификации теплопередачи за счёт оребрения. При этом тепловые сопротивления станут обратно пропорциональны произведению коэффициента теплоотдачи на площадь поверхности.

Если коэффициенты теплоотдачи существенно различны, >> , то оребрять поверхность со стороны следует до тех пор, пока не достигнет значения . Дальнейшее увеличение площади поверхности с этой стороны нецелесообразно.

Рис. 2. – Теплопередача через оребрённую стенку

Рассмотрим передачу теплового потока Q по рёбрам, имеющим форму колец (рис. 2). Имеется цилиндрическая стенка, внутренний диаметр которой равен d₁, радиус равен r₁, внешний диаметр – d₂, радиус – r₂, а толщина стенки равна δ = d₂ – d₁. Теплопроводность стенки равна λ_c. Внешняя поверхность цилиндрической стенки снабжена рёбрами из того же материала, толщина которых составляет h₁. Диаметр кольцевого ребра составляет D, радиус – r₃. Шаг между рёбрами равен h. С гладкой стороны поверхность равна F₁, а с оребрённой – F₂. Последняя составляется из поверхности рёбер и поверхности самой стенки между рёбрами. Температура горячего теплоносителя (воды), омывающей гладкую сторону стенки, t_ж1, а температура этой поверхности t_с1. Температура холодного теплоносителя (воздуха), омывающего оребрённую поверхность, t_ж2, а температура этой поверхности t_с2. Значения коэффициентов теплоотдачи равны и , соответственно.

Из условия теплового баланса Q₁ = Q₂ = Q_c можно определить формулы для расчёта коэффициента теплопередачи через ребристую стенку. Формулы, полученные математическим путём, громоздки и малоудобны для технических расчётов. Поэтому для круглых рёбер постоянной толщины, а также для различных прямых рёбер переменного сечения расчет можно свести к методике расчёта прямых рёбер постоянного сечения [4]. При этом тепловой поток, который будет отдаваться оребрённой цилиндрической поверхностью рассчитывают по формуле,

, (32)

r₃/r₂=1,0

t_c3/t_c2

Рис. 3. – Номограмма для расчёта круглых рёбер постоянной толщины

где – тепловой поток, отдаваемый участком оребрённой трубы на шаге h, Вт; – поверхность теплообмена на шаге h, м²; q=Q/F – количество теплоты, отдаваемое в единицу времени единицей поверхности прямого ребра. Толщина такого ребра для других конфигураций принимается по его среднему значению;  – поправочный коэффициент, определяемый по номограмме (рис. 3). Здесь – отношение значений температуры на концах ребра.

Таким образом, зная температуру на конце ребра и плотность теплового потока для прямого ребра и подставив q и в уравнение (32), получим значение теплового потока для круглого ребра.

Тепловые потоки выражаются уравнениями, Вт:

, (33)

, (34)

. (35)

Количество тепла отданное теплопередачей за единицу времени, Вт:

, (36)

откуда значение коэффициента теплопередачи оребрённой трубы:

. (37)