2. Основні види математичних пропозицій
Математичне судження прийнято називати пропозицією. Наприклад: "S є P" - S - логічне підмет або суб'єкт думки (те, про що йде мова у реченні); Р - логічний присудок або предикат думки. Судження часто даються в умовній формі: "якщо є А, то є і В". Розкрити логічну структуру складеного пропозиції, - значить, показати, з яких елементарних пропозицій сконструйовано дане складене пропозицію і як воно складено з них, тобто за допомогою яких й у якому порядку застосовуються логічних зв'язок "не", "і", "або", "якщо ..., то ...", "тоді, і тільки тоді", "для всякого", "існує", що позначають логічні операції , за допомогою яких з одних пропозицій утворюються інші. Наприклад: Елементарні пропозиції: дан DАВС; (x) АВ = ВС; (y) АТ = ДС; (z) ВД ДС. Складові пропозиції: 1. Якщо АВ = ВС і АД = ДС, то ВД ДС - істинне. 2. Якщо АВ = НД, те АД = ДС і ВД ДС - ложное.А 3. Якщо ДВ = ВС і ВД не перпендикулярно АС, то АТ ДС - істинне. Логічні структури для 1. і 3. виглядають так: 1) Якщо x та y, то z. 3) Якщо x і не z, то не y. Наприклад: 1. Якщо число ціле і позитивне, то воно натуральне; 2. Якщо число ціле і не натуральне, то воно не позитивне. Аксіома - пропозиція, прийняте без доказу. Певне число аксіом утворює систему вихідних положень деякої наукової теорії, що лежить в основі доказів інших положень (теорем) цієї теорії, в межах якої кожна аксіома приймається без доведення. Постулат - це пропозиція, в якому висловлюється деякий вимога (умова), якій має задовольняти деяке поняття або деяке відношення між поняттями. Наприклад, поняття а | | b визначається двома постулатами: 1. (A ) (B ); 2. (A = b) (A b = 0). Теорема - математичне пропозицію, істинність якого встановлюється за допомогою докази (міркування), логічного слідства інших пропозицій, прийнятих за достовірні. Можна відзначити два підходи до розуміння теореми: А.В. Погорєлов (геометрія "7-11") "Правильність твердження про властивості тієї чи іншої геометричної фігури встановлював шляхом міркування. Це міркування називається доказом. А саме твердження, яке доводиться, називається теоремою. ... Формулювання теореми зазвичай складається з двох частин. В одній частині йдеться про те, що дано. Це частина називається умовою теореми. В іншій частині йдеться про те, що повинно бути доведено. Ця частина називається висновком теореми ". Структура теореми, передбачувана В.П. Болтянською: а) роз'яснювальна частина; б) умова; в) укладення. Наприклад, "якщо сума цифр числа n ділиться на 3, то саме число n ділиться на 3". Умова: сума цифр числа n ділиться на 3 Висновок: саме число ділиться на 3. Роз'яснювальна частина: n - будь-яке натуральне число. Використовуючи логічну символіку, теорема представляється так: - Імплікація (якщо ..., то ...). Маючи пряму теорему ( ), Можна утворити нові теореми: 1. - Зворотна; 2. - Протилежна; 3. -Зворотна протилежної чи контрапозітівная. Ці теореми мають наступні властивості: а) ( ) І ( ) - Одночасно істинними чи хибні; б) ( ) І ( ) - Одночасно істинні або помилкові. Висловлення p називається необхідною умовою для q, якщо імплікація ( ) Є справжнє слідство. Наприклад, щоб число ділилося на 6, необхідно (не недостатньо), щоб воно було парним. p - парне число, q - число кратно 6. Þ ( ) - В. Висловлення p називається достатньою умовою для q, якщо імплікація ( ) Є справжнє слідство. Наприклад, щоб число було кратне 5, достатньо, щоб воно було кратно 25. (Р: кратно 25; q: кратно 5) Þ (pÞq) Зауваження: Для визначення необхідно умова слід підібрати контр приклад, спростування цього твердження. Умова р називається необхідним і достатнім для q, якщо істини одночасно обидві імплікації: (pÞq) і (qÞp), тобто має місце еквівалентність. Характеристичне властивість найбільш повно визначає об'єкт, виділяючи його з деякого безлічі подібних об'єктів, дозволяє його сконструювати. Наприклад, характеристичне властивість арифметичної прогресії: починаючи з другого члена, всі члени прогресії задовольняють властивості: - Бути середнім арифметичним двох сусідніх з ним членів (або відстояти від нього на рівних відстанях) Приклад необхідного і достатнього умови: