Министерство образования Российской Федерации

КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра систем управления и технологических комплексов

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ИМПУЛЬСНОЙ САР

Методические указания к выполнению

лабораторной работы

для студентов специальности

220301 - Автоматизация технологических

процессов и производств

всех форм обучения

Краснодар

Издательство КубГТУ

2009

Составитель: канд. техн. наук, доц.А.В.Нестеров

УДК 62-50

МОДЕЛИРОВАНИЕ ИМПУЛЬСНОЙ САР: Метод. указания к выполнению лабораторной работы по дисциплине “Теория автоматического управления” для студентов специальности 220301 – Автоматизация технологических процессов и производств всех форм обучения/Кубан. гос. технол. ун-т; сост. А.В.Нестеров. Краснодар, 2009.-19 c.

Представлена методика моделирования импульсной САР с АИ – модуляцией на основе z – преобразования.

Библиогр.:10 назв., рис.9.

Печатается по решению Редакционно-издательского совета Кубанского государственного технологического университета

Рецензенты: канд. техн. наук, доц. Ю.П.Добробаба

(Кубан.гос.технол. ун-т, кафедра Электроснабжения);

канд. техн. наук, доц. А.Г.Мурлин

(Кубан.гос.технол. ун-т, кафедра ВТ и АСУ).

1 ЦЕЛЬ РАБОТЫ

1. Изучение особенностей математического моделирования импульсных САР с помощью z-преобразования.

2. Изучение техники моделирования импульсной САР с помощью пакета расширения Symbolic Math Toolbox системы MATLAB.

3. Изучение техники моделирования импульсной САР с помощью пакета расширения Control System Toolbox системы MAT LAB.

4. Изучение техники моделирования импульсной САР с помощью пакета расширения Simulink системы MATLAB.

5. Математическое моделирование импульсной САР в системе MATLAB.

2. Общие сведения

Типичным примером импульсной САР является система регулирования с квантованием сигнала ошибки регулирования ε(t) [12, пример 13.2] Структурная схема такой САР изображена на рисунке 1.

АР

ОР

G(s) E(s) E^*(s) Y(s)

T=1

Рисунок 1 – Исходная структурная схема импульсной САР

Математическое моделирование импульсной САР сводится в первую очередь к разработке математической модели (ММ) импульсного элемента (АР). Наиболее просто эту задачу решают выбором названной ММ из известного ряда типовых моделей, см. отчет о лабораторной работе "Моделирование типовых элементов дискретных САР". В рассматриваемом примере импульсный элемент осуществляет амплитудно-импульсную модуляцию сигнала ошибки ε(t). В этом случае в качестве его ММ целесообразно принять АИ-модулятор, что позволяет преобразовать исходную структурную схему (рисунок 1). В результате схема САР приобретает вид, показанный на рисунке 2.

НЧ

ИЭ

G(s) E(s) Y(s)

Рисунок 2 – Преобразованная структурная схема импульсной САР

Полученная модель импульсной САР является непрерывно-дискретной, т.к. содержит идеальный импульсный элемент (ИЭ) и непрерывные элементы с передаточными функциями W_ф(s), W₁(s) и W₂(s). Непрерывные элементы образуют непрерывную линейную часть (НЧ) модели САР. В связи с этим схему САР можно упростить (рисунок 3).

ИЭ НЧ

G(s) E(s) Y(s)

Рисунок 3 – Эквивалентная структурная схема импульсной САР

Поскольку непрерывные элементы соединены последовательно, эквивалентная ПФ непрерывной части равна

В рассматриваемом примере импульсной САР в качестве формирователя импульсов принят фиксатор нулевого порядка (zero-order hold, ZOH) с ПФ

где Т-период квантования по времени. В данном случае Т=1с. ПФ остальных непрерывных элементов

Следовательно, эквивалентная ПФ непрерывной части

где

Эквивалентная модель импульсной САР, схема которой изображена на рисунке 3, также является непрерывно-дискретной. Это свойство затрудняет моделирование. Поэтому названную модель преобразуют в дискретную, схема которой изображена на рисунке 4.

G(z) E(z) Y(z)

Рисунок 4 – Дискретная модель импульсной САР

Осуществление такой операции основано на z-преобразовании ПФ непрерывной части W_нч(s) согласно выражению

В случае фиксатора нулевого порядка

или при подстановке

Оператор Z_T соответствует трем последовательным операциям:

1. обратному преобразованию Лапласа

2) квантованию по времени функции , что приводит к решетчатой функции y[nT];

3. прямому z-преобразованию .

Если названные операции осуществляют вручную с использованием таблиц операционных соответствий, то отпадает необходимость выполнения второй операции. Таблицы связывают непосредственно изображения Лапласа W(s) и z-изображения W(z). Необходимо только привести оператор W(s) к типовому виду.

Таблица 1 – Оригиналы и изображения типовых функций

Оригинал f(t)	Изображение Лапласа F(s)=L[f(t)]	Оригинал f[nT]	z-изображение F(z)=Z{f[nT]}
1(t)		1[nT]
δ(t)	1	δ[nT]	1
t		nT
e-αt		e-αnT
δ(t-kT)	e-kTs	δ(nT-kT)	z-k

В частности, в рассматриваемом примере z-преобразование передаточной функции НЧ

(1)

Оператор W(s)/s, разлагают на сумму элементарных дробей

каждая из которых имеет "табличный" вид. Затем в таблице 1 находят соответствующие им z-изображения

Учитывая, что в рассматриваемом примере период квантования Т=1, получают

(2)

Так как оператор z = e^Ts, то первый иъ двух сомножителей в произведении (1)

Таким образом, z - передаточная функция разомкнутой САР

(3)

или в нормированном виде

(4)

Основную z - ПФ системы управления получают по формуле замыкания

(5)

Z – изображение реакции импульсной САР на управляющее воздействие g(t) определяют по формуле

Y(z)=Ф(z)G(z).

Так как входное воздействие является типовым ступенчатым g(t)=1(t), то его z-изображение согласно таблице 1

В этом случае z-изображение переходной функции

(6)

а также в нормированном виде

Для того, чтобы изобразить переходной процесс во времени, необходимо определить соответствующую решетчатую функцию y[nT] обратным z-преобразованием

(7)

Теоретически для этого необходимо вычислить интеграл

Практически обходятся без названного интегрирования следующим образом.

Так же, как при осуществлении прямого z-преобразования, при обратном z-преобразовании необходимо предварительно функцию Y(z) привести к "табличному" виду. Эту задачу решают одним из следующих методов [3,6,11,14]:

1. с помощью вычетов по теореме Коши;

2. разложением функции Y(z) на простые дроби;

3. разложением функции Y(z) в степенной ряд.

В первом случае с помощью теоремы вычетов Коши значение интеграла рассчитывают как сумму всех вычетов внутри контура Г

по всем полюсам zk

Во втором случае изображение Y(z) представляют в виде суммы простых дробей

(8)

где r_m и p_m – коэффициенты разложения при m-ом полюсе. Согласно свойству линейности обратного z-преобразования оригинал определяют по формуле

Согласно таблице 1 окончательно искомую решетчатую функцию получают

Последний из трех названных методов, реализуемый так называемым "длинным делением" [ 3, стр.767; 12, стр.492. ], приводит к следующему ряду (ряду Лорана)

Согласно таблице 1 z-изображению z^-k соответствует оригинал функции δ(t-kt). Поэтому искомый оригинал переходной функции имеет вид

График этой функции (переходную характеристику) строят по точкам для следующих моментов времени t=0,T,2T,…,20T.

Каждый из рассмотренных методов требует сравнительно непростых вычислений. Считают, что третий метод в этом отношении наиболее простой. В отличие от первых двух методов, нет необходимости в расчете полюсов ПФ z_k. С точки зрения автоматизации вычислений предпочтительнее выглядит второй метод, т.к. современные математические системы (MATLAB, MathCAD и другие) содержат функции для разложения изображений Y(z) на элементарные дроби. Более того, ресурсы пакетов расширения Control System Toolbox и Simulink системы MATLAB позволяют построить динамические характеристики дискретных САУ совершенно без вычислений со стороны пользователя.