12. Поверхности второго порядка

Поверхности являются пространственными аналогами кривых второго порядка на плоскости.

12.1 Эллипсоид

Определение. Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением:

- каноническое уравнение эллипсоида. (12.1)

Рассмотрим форму эллипсоида с помощью «метода параллельных сечений». Рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями, параллельными Оху, т.е. z=h. Линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями:

(12.2)

Если:

1) , то плоскость z=h пересекает эллипсоид (12.1) по эллипсу с полуосями: .

2. Величины имеют наибольшие значения при h=0, иначе говоря, самый крупный эллипсоид получается при сечении координатной плоскостью z=0.

3. При возрастании величины уменьшаются.

4. При величины обращаются в 0, т.е. сечение эллипса вырождается в точку .

5. При , уравнения (12.2) определяют мнимый эллипс, т.е. плоскость z=h с данным эллипсоидом не встречается совсем.

Совершенно аналогично рассматриваются сечения эллипсоида плоскостями, параллельными .

Т аким образом, вывод: эллипсоид есть замкнутая овальная поверхность, обладающая тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии. Величины называются полуосями эллипсоида. Если все они различны, то эллипсоид называется трехостным.

При эллипсоид, можно рассмотреть как поверхность, образованную вращением эллипса вокруг одной из его осей: если эллипсоид образован вращением вокруг его большой оси, он называется вытянутым эллипсоидом вращения, если вокруг меньшей оси – то сжатым эллипсоидом вращения.

В случае имеем сферу.

Уравнение , ввиду аналогии с (12.1) называется уравнением мнимого эллипсоида: (12.3)

12.2 Гиперболоид

Определение. Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в данной декартовой системе координат определяется уравнением: (12.4)

Определение. Двухполостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая уравнением: (12.5)

Однополостный гиперболоид

Он задается уравнением (12.4). Рассмотрим сечение его координатными плоскостями .

Сечение плоскостью (у=0) определяется уравнениями:

Мы видим, что эта гипербола расположена симметрично относительно осей Ox и Oz и пересекает ось Ox в точках .

Сечение плоскостью (х=0) определяется уравнениями:

- это гипербола, симметричная относительно осей Ox и Oz и пересекает ось в точках .

Сечение плоскостью (z=0) определяется уравнениями:

- эллипс, который лежит в плоскости . Он называется горловым.

Рассмотрим произвольное сечение плоскостью z=h, параллельной Оху:

1. Плоскость z=h пересекает гиперболоид (12.4) по эллипсу с полуосями .

2. Величина имеют наименьшие значения при h=0, т.е. сечение плоскостью z=0.

3. При возрастании величины бесконечно возрастают.

Построим однополостный гиперболоид:

В ывод: однополостный гиперболоид имеет вид бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся в обе стороны от горлового эллипса.

Величины называют полуосями однополостного гиперболоида. Полуось с в уравнении (12.4) стоит со знаком «минус», значит, вокруг этой оси происходит вращение гиперболы.

Замечание: В уравнении (12.4) знак «минус» может стоять и при , и при , тогда трубка однополостного гиперболоида будет располагаться вокруг оси или .

Двухполостный гиперболоид

З адаётся уравнением:

(12.5)

Рассмотрим сечение плоскостью .

-гипербола симметрична осям и , и ось пересекает в точках и .

Сечение плоскостью .

- это гипербола, симметричная относительно осей Oу и Oz и пересекает ось в точках и .

Сечение плоскостью z=h.

(*)

1. , то плоскость пересекает двухполостный гиперболоид по эллипсу с полуосями ,симметричному и .

2. При возрастании величины возрастают.

3. При убывании величины убывают и приближаются к нулю при , имеем  эллипс вырождается в точку.

4. При , система (*) определяют мнимый эллипс, т.е. плоскость z=h с данным гиперболоидом не встречается совсем.

Вывод: Двухполостный гиперболоид есть поверхность, состоящая из двух полостей, каждая имеет вид бесконечной выпуклой чаши, он обладает тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии.

Величины называется полуосями двухполостного гиперболоида. Двухполостный гиперболоид можно рассматривать как поверхность, образованную вращением гиперболы вокруг из осей, а именно той, которая гиперболу пересекает.