- •Раздел . Интегральное исчисление
- •1. Неопределённый интеграл Первообразная
- •Неопределённый интеграл и его свойства
- •Основные методы интегрирования
- •1. Непосредственное интегрирование (метод разложения).
- •2. Метод замены переменной
- •Метод интегрирования по частям
- •4. Интегрирование рациональных выражений Дробно-рационалъные функции.
- •Раздел . Интегральное исчисление
- •1. Определённый интеграл Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла
- •Определённый интеграл как предел интегральной суммы
- •Основные свойства определённого интеграла
- •Формула Ньютона – Лейбница
- •Вычисление определенного интеграла
2. Метод замены переменной
Этот метод называют также методом подстановки. Он является одним из наиболее эффектных и распространенных примеров интегрирования, позволяющих во многих случаях упростить вычисления интеграла.
Пусть требуется найти интеграл
первообразная которого неизвестна, но известно что она существует. В этом случае можно попытаться сделать такую замену переменной, чтобы интеграл стая табличным. Для обоснования такого подхода к интегрированию рассмотрим теорему.
Пример 1. Найти .
Пример 2. Найти интеграл .
Пример 3. Найти интеграл
Метод замены переменных является одним из основных методов вычисления неопределенных интегралов. Даже в тех случаях, когда мы интегрируем каким либо другим методом, нам часто приходится в промежуточных вычислениях прибегать к замене переменных. Успех интегрирования зависит в значительной степени от того, сумеем ли мы подобрать такую удачную замену переменных, которая упростила бы данный интеграл. По существу говоря, изучение методов интегрирования сводится к выяснению того, какую надо сделать замену переменной при том или ином виде подынтегрального выражения.
Метод интегрирования по частям
Пусть функции и непрерывно дифференцируемые на некотором интервале. Имеет место тождество: .
Известно, что дифференциал произведения двух функций u(x), v(x) вычисляются по формуле:
d (uv) = udv + vdu
Интегрируя обе части, получим формулу интегрирования по частям или
Эта формула называется формулой интегрирования по частям.
Пример 1. Найти интеграл
Пример 2. Вычислить интеграл .
4. Интегрирование рациональных выражений Дробно-рационалъные функции.
Определение 1.Функция вида ,
где , , a0,a1,...tan любые числа, называется целой рациональной функцией.
Определение 2. Функция являющаяся частным двух целых рациональных функций называется дробно-рациональной функцией
R(x) =
Если т<n, дробь называется правильной, если т>n дробь называется неправильной.
Пусть n< m дробь неправильная, тогда разделив числитель на знаменатель, получим
,
где М(х) – многочлен, а - правильная дробь.
Пример 1. Представить неправильную дробно- рациональное выражение в виде правильной дроби.
Раздел . Интегральное исчисление
1. Определённый интеграл Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла
Многие задачи естествознания и техники получили решение благодаря одному из основных понятий математического анализа - определенному интегралу. Нахождение площадей, ограниченных кривыми, длин дуг, объемов, работы, пути, скорости, моментов инерции и т.д., сводится к его вычислению. Рассмотрим некоторые задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
Задача о площади криволинейной трапеции. Дана плоская фигура, ограниченная графиком функции и отрезками прямых . Функция определена, непрерывна и неотрицательна в промежутке . Вычислить площадь S полученной фигуры , называется криволинейной трапецией.