- •Розділ 1. Рівняння першого порядку
- •1.1. Рівняння першого порядку, розв’язані стосовно похідної
- •1. Рівняння з відокремлюваними змінними
- •Однорідні рівняння і ті, що зводяться до них
- •Лінійні рівняння першого порядку.
- •Рівняння в повних диференціалах
- •Теорема Коші
- •1.2. Рівняння першого порядку, не розв’язані стосовно похідної
Розділ 1. Рівняння першого порядку
1.1. Рівняння першого порядку, розв’язані стосовно похідної
Це рівняння такого вигляду
.
Його можна записати ще у такому вигляді
Оскільки такі рівняння при будь-якій функції не інтегруються в квадратурах, розглянемо типи рівнянь, які можна проінтегрувати.
1. Рівняння з відокремлюваними змінними
Рівняння вигляду
(1.1.1)
називають рівнянням з відокремлюваними змінними, якщо його можна записати у вигляді
. (1.1.2)
Відокремимо змінні у рівнянні (1.1.2). Для цього поділимо рівняння (1.1.2) на , вважаючи, що та . Одержимо
. (1.1.3)
Рівняння (1.1.3) вже можна інтегрувати
(1.1.4)
Формула (1.1.4) дає загальний інтеграл рівняння (1.1.2).
При відокремлюванні змінних ми могли втратити частинні розв’язки рівняння (1.1.2), які одержують при розв’язуванні рівнянь та .
Якщо диференціальне рівняння має вигляд
, (1.1.5)
то його називають рівнянням з відокремлюваними змінними, якщо праву частину можна записати у вигляді . Тоді, відокремлюючи змінні, одержимо
Останню рівність вже можна інтегрувати.
Приклад 1.
.
Відокремлюючи змінні, одержимо
Про інтегруємо останню рівність, позначивши довільну сталу через для зручності подальших перетворень.
, де .
Потенціюючи, знаходимо , звідки
Оскільки змінюється від до , то пробігає ті ж самі значення, що і . Тому знак – в останній рівності можемо опустити. При відокремленні змінних ми втратили розв’язок , який одержуємо при . Остаточно загальний розв’язок приймає вигляд .
Приклад 2.
.
Відокремлюючи змінні, одержимо
.
Інтегруючи, знаходимо загальний інтеграл
.
Приклад 3.
.
Відокремлюємо змінні
.
Інтегруємо
.
Звідки .
Остаточно .
Рівняння вигляду зводяться до рівняння з відокремлюваними змінними заміною . Дійсно, , тобто . Останнє рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними.
Приклад 4.
.
Заміна . Тоді . Одержуємо рівняння . Відокремлюємо змінні
Інтегруємо
.
Отже,
.
Враховуючи заміну, остаточно одержимо
.
Однорідні рівняння і ті, що зводяться до них
Означення. Функцію називають однорідною степеня , якщо вона за будь-якого задовольняє рівність
.
Означення. Рівняння
(1.1.6)
називають однорідним, якщо функції і є однорідними функціями однакового степеня, тобто
.
Якщо прийняти , то одержимо
.
Зробимо заміну . Тоді . Підставляємо в рівняння (1.1.6)
.
Скоротивши на і згрупувавши члени, які залишилися, одержимо
(1.1.7)
Рівняння (1.1.7) – рівняння з відокремлюваними змінними. Відокремлюємо змінні
.
Інтегруючи, знаходимо
,
, де .
Замінивши на , одержимо загальний інтеграл рівняння (1.1.6)
.
Приклад 5.
.
Приймемо . Одержимо
.
Інтегруючи, знаходимо
.
Повертаємося до змінної , покладаючи ,
,
.
Остаточно
.
Означення. Рівняння називають однорідним, якщо функція є однорідною нульового степеня.
Приклад 6.
.
Рівняння однорідне. Робимо заміну . Рівняння приймає вигляд
або .
Відокремлюємо змінні
.
Розкладаємо другий доданок на прості дроби
.
Звідки . Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях , одержимо систему рівнянь
.
Інтегруємо
або .
Підставивши значення , остаточно одержимо
.
Рівняння, які зводяться до однорідних.
Розглянемо спочатку рівняння
(1.1.8)
Якщо , то рівняння (1.1.8) є однорідним, і ми вміємо його інтегрувати. В загальному випадку спробуємо звести це рівняння до однорідного. Вводимо нові змінні
(1.1.9)
де і поки що невизначені сталі. Диференціюючи (1.1.9), маємо
.
Тоді рівняння (1.1.8) запишеться у вигляді
.
Якщо тепер вибрати і як розв’язок лінійної системи
(1.1.10)
то одержимо однорідне рівняння
Зробивши заміну , ми це рівняння зведемо до рівняння з відокремлюваними змінними. Знаходимо загальний інтеграл і замінюємо в ньому на , на . Ми одержимо загальний інтеграл рівняння (1.1.8).
Система (1.1.10) не має розв’язку, якщо визначник системи дорівнює нулю, тобто . В цьому випадку запропонований метод не годиться. Але , тому рівняння (1.1.8) запишеться у вигляді
.
Заміною ми це рівняння легко зводимо до рівняння з відокремлюваними змінними.
Рівняння (1.1.8) є частинним випадком більш загального рівняння вигляду
.
Розв’язується це рівняння таким самим методом.
Приклад 7.
.
Робимо заміну
.
Для визначення сталих та маємо систему
Звідки . Отже, .
Однорідне рівняння має вигляд
.
Зробимо заміну .
Тоді
,
.
Відокремлюємо змінні
.
Інтегруємо
.
Звідки . Оскільки , то . Враховуючи, що , одержимо
.
Остаточно
.
Приклад 8.
.
Зробимо заміну . Тоді . . Підставляємо у рівняння
,
.
Відокремлюємо змінні
.
Інтегруючи, одержимо
.
Оскільки , то
.
Остаточно
.
Узагальнені однорідні рівняння.
Означення. Рівняння (1.1.6) називають узагальненим однорідним, якщо існує таке число , що ліва частина рівняння стає однорідною функцією стосовно величин за умови, що вони вважаються величинами відповідно першого, го, нульового та го виміру, тобто, якщо для всіх виконується рівність
.
Якщо покладемо , то одержимо
.
Зробимо заміну . Тоді узагальнене однорідне рівняння стає рівнянням з відокремлюваними змінними.
.
Відокремлюючи змінні, одержуємо
.
Інтегруючи, знаходимо , де .
Повертаючись до шуканої функції , одержуємо загальний інтеграл вихідного рівняння
.
Приклад 9.
Розглянемо рівняння
.
Прирівнюючи виміри усіх членів за припущенням, що є величини відповідно першого, го, нульового та го вимірів, одержуємо систему
.
Ця система сумісна, . Отож, задане рівняння є узагальненим однорідним. Для його інтегрування треба зробити заміну . Тоді . Рівняння запишеться у вигляді
.
Звідки
.
Відокремлюємо змінні
.
Інтегруючи, знаходимо
,
Звідки
.
Повертаючись до функції , одержимо загальний розв’язок рівняння у вигляді
.
Приклад 10.
Розглянемо рівняння
.
Передусім треба вибрати так, щоби вираз мав такий же вимір, як , тобто нульовий. Отже, треба вибрати з умови , звідки . Легко переконатися, що тоді всі члени рівняння мають один вимір, який дорівнює . Робимо заміну . Тоді
або
.
Відокремлюємо змінні
.
Про інтегрувавши, одержимо
.
Оскільки , то загальний інтеграл вихідного рівняння має вигляд
.