Решение систем линейных уравнений

7. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Пусть дана линейная система n уравнений с n неизвестными, где a_ij, b_i (i = 1, 2,…, n; j = 1, 2,…, n) – произвольные числа, называемые, соответственно, коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

Такая запись называется системой линейных уравнений в нормальной форме. Решением системы называется такая совокупность n чисел (x₁ = k₁, x₂ = k₂, …, x_n = k_n), при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство. Система уравнений совместна, если она имеет хотя бы одно решение и несовместна, если она не имеет решений. Если совместная система уравнений имеет единственное решение, она называется определенной; напротив, система уравнений называется неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две системы уравнений являются равносильными (эквивалентными), если они имеют одно и то же множество решений. Система, равносильная данной может быть получена с помощью элементарных преобразований системы. Систему можно записать в виде матричного уравнения А * Х = В, где А – матрица коэффициентов при переменных:

Х – матрица-столбец (вектор) неизвестных. В – матрица-столбец (вектор) свободных членов:

В развернутом виде систему можно представить следующим образом:

*

Существует ряд методов решения системы, ориентированных на вычисления вручную: методы Крамера, Гаусса. С использованием компьютера, наиболее удобно решить систему в общем виде (метод обратной матрицы). Будем считать, что квадратная матрица системы A_nn является невырожденной, то есть ее определитель   0, тогда существует обратная матрица А^-1. Умножая слева обе части матричного равенства на обратную матрицу А^-1, получим: А^-1 * А * Х = А^-1 * В, Е * Х = А^-1 * В; Е * Х = Х, отсюда решением системы методом обратной матрицы будет матрица-столбец Х = А^-1 * В. Таким образом, для решения системы (нахождения вектора Х) необходимо найти обратную матрицу коэффициентов и умножить ее справа на вектор свободных членов.

Пример 2.7. Решить систему:

Введите матрицу А (размером 2 * 2) в диапазон А1:В2

Вектор В = | 7 40| введите в диапазон С1:С2.

Найдите обратную матрицу А^-1. Выделите блок ячеек под обратную матрицу А3:В4. Нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции. В диалоговом окне Мастер функций в поле Категория выберите Математические, а в поле Функция – имя функции МОБР. ОК. В диалоговом окне МОБР введите диапазон исходной матрицы А1:В2 в поле Массив. Нажмите сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter. В результате в диапазоне А3:В4 появится обратная матрица.

Умножением обратной матрицы А^-1 на вектор В найдите вектор Х. Выделите блок ячеек под результирующую матрицу (вектор Х). Ее размерность будет m * p (2 * 1), т.е. блок ячеек С3:С4. Нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции. В диалоговом окне Мастер функций в поле Категория выберите Математические, а в поле Функция – имя функции МУМНОЖ. ОК. В диалоговом окне МУМНОЖ введите диапазон обратной матрицы А3:В4 в поле Массив1. В поле Массив2 диапазон С1:С2 матрицу В. Нажмите сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter. В результате в диапазоне С3:С4 появится вектор Х.

Проверка найденного решения. Для этого вектор Х нужно подставить в исходное матричное уравнение А * Х = В. Выделите блок ячеек под результирующую матрицу D1:D2. Нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции. В диалоговом окне Мастер функций в поле Категория выберите Математические, а в поле Функция – имя функции МУМНОЖ. ОК. В диалоговом окне МУМНОЖ введите диапазон исходной матрицы А1:В2 в поле Массив1. В поле Массив2 диапазон матрицы Х – С3:С4. Нажмите сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter. В результате в диапазоне D1:D2 появится вектор В.

8. Система m линейных уравнений с n неизвестными. Имеет вид:

Система может быть представлена в матричном виде А * Х = В. Возможны три случая: m<n, m = n, m>n. Случай, когда m = n, это система n линейных уравнений с n неизвестными). При m < n, если система является совместной, то она не определена и имеет бесконечное множество решений. В случае, если m > n и система является совместной, то матрица А имеет по крайней мере m – n линейно зависимых строк. При применении компьютера используют метод наименьших квадратов. Для этого обе части матричного уравнения системы умножают слева на транспонированную матрицу системы А^Т :А^Т АХ = А^Т В.

Затем обе части уравнения умножают слева на матрицу (А^Т А)^-1. Если эта матрица существует, то система определена. С учетом того, что (А^Т А)^-1 * (А^Т А) = Е, получаем Х = (А^Т А)^-1 А^Т В.

Это матричное уравнение является решением системы m линейных уравнений с n неизвестными при m > n.

Пример 2.8. Решить систему:

3. Введите матрицу А (размера 3 * 2) в диапазон А1:В3 , вектор В=|7 40 3| введите в диапазон С1:С3.

4. Найдите транспонированную матрицу А^Т. Выделите блок ячеек под транспонированную матрицу А4:С5. Нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции. В д.о. Мастер функций в поле Категория выберите Математические, а в поле Функция – имя функции ТРАНСП. ОК. В д.о. ТРАНСП введите диапазон исходной матрицы А1:В3 в поле Массив. Нажмите сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter. В результате в диапазоне А4:С5 появится транспонированная матрица А^Т.

5. Найдите произведение А^Т В. Выделите блок ячеек Е4:Е5 под результирующую матрицу (вектор А^Т В). Нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции. В д.о. Мастер функций в поле Категория выберите Математические, а в поле Функция – имя функции МУМНОЖ. ОК. В д.о. МУМНОЖ введите диапазон транспонированной матрицы А4:С5 в поле Массив1. В поле Массив2 диапазон матрицы В – С1:С3. Нажмите сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter. В результате в диапазоне Е4:Е5 появится вектор А^Т В.

6. Аналогично найдите произведение А^Т * А. Выделите блок ячеек А7:В8. Далее действуйте так, как описано в п. 3, указывая соответствующие диапазоны.

4. Найти обратную матрицу (А^Т А)^-1. Выделите блок ячеек А10:В11 под обратную матрицу. Нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции. В д.о. Мастер функций в поле Категория выберите Математические, а в поле Функция – имя функции МОБР. ОК. В д.о. МОБР введите диапазон исходной матрицы А7:В8 в поле Массив. Нажмите сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter. В результате в диапазоне А10:В11 появится обратная матрица (А^Т А)^-1.

5. Находим вектор Х умножением обратной матрицы (А^Т А)^-1 на вектор А^Т В. Выделите блок ячеек D1:D2. Нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции. В д.о. Мастер функций в поле Категория выберите Математические, а в поле Функция – имя функции МУМНОЖ. ОК. В д.о. МУМНОЖ введите диапазон обратной матрицы А10:В11 в поле Массив1. В поле Массив2 диапазон матрицы А^Т В – Е4:Е5. Нажмите сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter. В результате в диапазоне D1:D2 появится вектор В. Причем х = 5 будет находиться в ячейке D1, а у = -4 в ячейке D2.

7. Для проверки найденного решения, подставьте найденный вектор Х в исходное матричное уравнение А * Х = В.