2. Характерное ортогональное разложение

Предположим, мы имеем случайное поле скорости, u_i (·) и мы стремимся найти детерминированное векторное поле Φ_i(·), которое имеет максимальную проекцию на наше случайное u_i векторное поле в среднем квадратном значении. Мы хотели бы найти новое детерминированное поле представленное Φ_i(·), для которых  максимальна, т.е.

Или

Где  Таким образом, если Φ_i(·) максимально (2), то это означает, что если поток поля «проецируется» по Φ_i(·), средняя энергия содержимого λ, больше, чем если бы поток поля «проецируется» по любым другим математическим структурам, например, Режим Фурье. В пространстве ортогонального этой Φ_i(·) процесс максимизации может повторяться, и таким образом весь комплекс ортогональных функций Φ_i(·) может быть определен. По вариационному исчислению можно показать, что необходимое условие для Φ_i(·) максимальное выражение (2) то, что это решение следующего интегрального уравнения Фредгольма второго типа

где R_ij является пространственно-корреляционный тензор. Это пространство-корреляционный тензор симметричен и положительно определен. Сила POD заключается в том, что распад поля потока в POD собственно оптимально быстро сходятся в L²-смысле. Самое главное, разложение на основе потока само поле, а если поток поле неоднородно конечной степени, то теория Гильберта-Шмидта применима и полученные собственно функции являются эмпирическими, а если поле потока однородной или периодической бесконечной степени собственной функции являются аналитическими (синусов и косинусов). Собственные функции (3) имеют некоторые интересные математические свойства. собственно ортогональны как уже упоминалось, и могут быть нормализованы; Закрытием промежутка POD собственных функций равно множеству всех реализуемых полей потока. Таким образом, исходное поле скоростей можно восстановить по их следующим выражению:

Случайными коэффициентами a_n является функцией переменной не используемый в интеграл, и должен определяться проектированием обратного на поле скорости, т.е.

Они некоррелированы и их собственные средние значения

Собственные значения упорядочены (то есть низшего порядка собственное значение больше, чем следующие, и так далее), т. е. λ₁ > λ₂ > λ₃ …. Таким образом, представление является оптимальным в том смысле, что наименьшее количество слагаемых необходимы для захвата энергии.

3. Поле потока с изменением плотности

Во многих интересных практических потоках температурные колебания способствуют поколению скоростных колебаний и турбулентной кинетической энергии. Температурные колебания вызывают колебания плотности в жидкости в чрезвычайно постоянном давлении. Колебания плотности вызывают колеблющуюся массовую силу, которые способствуют турбулентной кинетической энергии. Чтобы построить оптимальное представление для таких потоков, используя эмпирический метод собственных функций, вектор и скалярные области должны быть измерены с соответствующими параметрами так, чтобы у них было то же самое измерение, или они становятся безразмерными. Проблема максимизации с пятью векторами сформулирована следующим образом:

Где,   является эмпирическим претендентом собственной функции и  масштабируется векторной и скалярной величиной, т. е. и .