3.2 Цифрова обробка радіонавігаційних сигналів

Нижче наведена методика розрахунку цифрових фільтрів може бути використана при проектуванні післядетекторних фільтрів 90 Гц і 150 Гц радіонавігаційних бортових приймачів ГРП та КРП.

Відомо, що цифрова і аналогова обробки сигналів можливі у часовій або частотній областях. У першому випадку, наприклад, послідовність відліків вхідної часової функції U_BX(t) після АЦП надходить на цифровий корелятор, на виході якого безпосередньо отримують відліки вихідної часової функції U_BИX(t).

У другому випадку швидким перетворенням Фур'є (ШПФ) із послідовності відліків ділянки вхідного процесу отримують послідовність відліків його спектральної функції, яку перемножують з відліками дискретизованої передавальної функції фільтра. В результаті отримують дискретизовану спектральну функцію вихідного процесу, потім зворотним ШПФ знаходять відліки вихідної функції U_ВИХ(t). Розробка алгоритмів ШПФ дозволила ефективно застосувати у практиці цифрової обробки сигналів спектральні перетворення, оскільки у порівнянні з дискретним перетворенням Фур'є в N/log₂N разів скорочується час обчислення (N/2 відліків) спектральної функції S(j ) ділянки реалізації процесу U_BX(t) за його N відліками. Оскільки в результаті дискретизації вхідного процесу його спектральна функція S(j ) періодично повторюється, то з послідовності спектрів звичайно вибирають низькочастотний, оскільки це спрощує цифровий фільтр і знижує потрібну швидкодію. Застосування АЦП при обробці вузькосмужних процесів може зумовити додаткові помилки, які пов'язані зі зміною процесу, що дискретизується, за час взяття відліку. Тому швидкодію АЦП потрібно вибирати, виходячи не з ширини спектра , а з верхньої частоти вузькосмужного процесу. Отже, в ЦФ вхідна послідовність чисел або просто Х(n), де Т_Д=1/F_Д – період дискретизації, за заданим алгоритмом перетворюється у вихідну послідовність Y(n). Цифрові фільтри можуть бути нерекурсивними та рекурсивними. В нерекурсивних фільтрах вихідні відліки Y(nT_Д) залежать тільки від зважених вхідних a_k, b_і = 0; в рекурсивних фільтрах вихідні відліки Y(nТд) залежать від зважених вхідних a_k та зважених вихідних b_i (рис. 3.11).

На практиці як елементи затримки застосовують регістри зсуву, які керуються імпульсами з частотою слідування Fд. Перемноження відліків, які знімаються з комірок регістрів, на a_k, b_i та підсумовування можна виконати за допомогою апаратних або програмних засобів.

Для кола, зображеного на рис. 3.11,а в момент nТд відлік у точці А має вигляд

а вихідний відлік–

а

б

Рис. 3.11. Цифровий фільтр: а – функціональна схема; б – передавальна функція; – суматори; ak і bi; – вагові множники; Тд – елементи затримки на один крок дискретизації.

Передавальну функцію фільтра можна знайти як відношення перетворення Лапласа вихідного і вхідного сигналів

.

Нагадаємо, що перетворенням Лапласа безперервної функції є функція

(3.1)

Перетворення Лапласа для дискретних вхідної та вихідної послідовностей буде:

(3.2)

Передавальна функція фільтра . (3.3)

Використання передавальної функції в формулі (3.3) для аналізу дискретних кіл високого порядку досить складне, тому замість змінної р в функції е^рТд вводять нову змінну Z (метод білінійного Z – перетворення), пов'язану з р співвідношеннями

З урахуванням останніх замін передавальна функція ЦФ

. (3.4)

Якщо підставити замість Z = е^рТд і прирівняти p до , то отримаємо:

. (3.5)

Передавальна функція ЦФ подібна передавальній функції аналогового фільтра, проте вона внаслідок дискретизації повторюється на осі частот з періодом Т_Д=1/F_Д (рис. 3.11,б).

Підбором коефіцієнтів а_k і b_i розташовують полюси та нулі в передавальній функції (3.5) таким чином, щоб отримати потрібну АЧХ фільтра. Отже, зображення передавальної функції у вигляді дробово-раціональної функції від комплексної змінної Z формула (3.4) дозволяє безпосередньо перейти до структури ЦФ. Тому при синтезі ЦФ слід апроксимувати передавальні функції аналогових фільтрів-прототипів К(р) дробово-раціональними функціями K(Z). Необхідно відмітити, що при білінійному Z – перетворенні співвідношення між частотами аналогового фільтра і ЦФ є істотно нелінійними, тому що при заміні і отримаємо: Але цю нелінійність перетворення для ЦФ верхніх і нижніх частот смугових і режекторних фільтрів легко компен­сувати за допомогою корегуючих множників. Це робить білінійне Z – перетворення єдиним методом, придатним для проектування усіх чотирьох вказаних типів ЦФ. Крім цього, як прототипи можна в усіх випадках використовувати нормовані (з частотою зрізу ) аналогові фільтри НЧ, для яких є таблиці передавальних функцій.

Методика проектування рекурсивних ЦФ на основі білінійного Z – перетворення аналогового фільтра-прототипу

Проектування ЦФ за аналоговим прототипом включає в себе такі етапи:

• вибір виду апроксимації і розрахунок параметрів функції, що апроксимується;

• розрахунок порядку аналогового фільтра-прототипу;

• розрахунок передавальної функції аналогового фільтра-прото­типу;

• розрахунок передавальної функції ЦФ.

На рис. 3.12 зображені види апроксимуючих функцій ана­ лого­вих фільтрів-прототипів. Апроксимація за Баттервортом дає макси­мально гладку АЧХ як в смузі пропускання так і в

Рис. 3.12. Апроксимуючі функції аналогових фільтрів-прототипів: а – ФНЧ Баттерворта; б –ФНЧ Чебишева; в –ФНЧ Кауера; – нерівномірність АЧХ в смузі пропускання; – нерівномірність АЧХ в смузі затримання ( , – задаються звичайно в децибелах).

смузі затримання Апроксимація за Чебишевим дає АЧХ з рівновеликими пульсаціями в смузі пропускання і гладку АЧХ – в смузі затримання. Перехідна смуга при цьому більш вузька, ніж при апроксимації за Баттервортом. Апроксимація за Кауером дає АЧХ з пульсаціями як в смузі пропускання, так і в смузі затримання, а ширина перехідної смуги виходить найменшою. Амплітудно-частотна характеристика задається на інтервалі зміни цифрових частот ( – частота дискретизації) або , тому що вона симетрична відносно частоти або . Апроксимація частотної характеристики фільтра грунтується на представленні квадрата модуля його АЧХ:

де – загасання АЧХ на межі смуги пропускання ; – апроксимуюча функція порядку N; – гранична частота пропускання (частота зрізу), на якій квадрат модуля АЧХ зменшується до 1/(1+ ).

Як правило , спочатку розглядається нормована АЧХ НЧ з , а потім здійснюється її частотне перетворення. В цьому випадку

При ( – гранична частота смуги затримання) приду­шення дорівнює А². Параметри апроксимуючої функції розрахову­ються на основі вимог до АЧХ ЦФ, які задаються за допомогою величин f_p, f_s, і .

Представимо методику синтезу ЦФ за аналоговим прототипом, яким є фільтр Баттерворта.

В загальному випадку передавальна функція ФНЧ Баттерворта N – порядку

Н(р) = 1 / B_N(p) , (3.6)

де В_N(Р) – поліноми ступеня N з коренями в точках:

.

Вираз функції B_N(p) для :

N=1 B_N(p) = p + l;

N=2 B_N(p) = p² + l,41p + l;

N=3 B_N(p) = (p + i) (p² + P + i);

N=4 B_N(p) = (p² + 0,7654p + l) (p² + l,8478p +l );

N=5 B_N(p) = (p + l) (p² + 0,6180p + l) (p² + l,6180p + l).

На практиці порядок фільтра Баттерворта розраховують відповідно до умови забезпечення певного рівня АЧХ 1/А на деякій заданій (як правило ) частоті згідно із співвідношенням

N = lgД/21g = lgД/21g (fp/fs), (3.7)

де .

Чим вище порядок фільтра (ступінь полінома), тим крутіші скати АЧХ від частоти зрізу f_p до частоти заданого гарантованого придушення f_s. Використовуючи рівність (3.6), представимо вираз для передавальних функцій нормованих (з частотою зрізу ) фільтрів Баттерворта (обмежимося значенням N від 1 до 3):

Н(р)1 = 1/(1 + р); Н(р)2 = l/(l + p + p2);

Н(р)3 = 1/(1 + 2р + 2p2 + р3). (3.8)

Для перетворення нормованого фільтра НЧ на інший фільтр, найчастіше застосовують перетворення:

– ФВЧ на ФНЧ, – ФНЧ на ФВЧ.

Тоді для передавальних функцій ФНЧ першого-третього по­рядків з довільною частотою запишемо вирази:

H(p)₁ = l/(l + p/ ); H(p)₂ = l/[l + (p/ ) + (р/ )²];

Н(р)₃ = 1/[l +2 (p/ ) + 2(p/ )² + (p/ )³] . (3.9)

Якщо частота зрізу синтезованого ЦФ дорівнює , то перерахована частота аналогового фільтра-прототипу в співвідношені з білінійним Z-перетворенням буде

де – частота дискретизації. Оскільки при Z–перетворенні відбувається заміна , то виникає

, (3.10)

де

Підставляючи рівність (3.10) в (3.9), після нескладних пере­творень отримаємо вирази передавальних функцій ЦФ, подібних до аналогових ФНЧ Баттерворта першого-третього порядків:

де

де

(3.11)

де

Квадрат АЧХ аналогового ФНЧ Баттерворта

Квадрат АЧХ ЦФ

(3.12)

де H*(Z) – комплексно-спряжена передавальна функція; R_е і I_m –дійсна та уявна частини АЧХ фільтра.

Вираз (3.12) після заміни , наприклад, для ЦФ третього порядку рівняння (3.11) отримує вигляд

,

де d₀ = 20 (l + c³); d₁ = 30 (l – c⁶); d₂ = 12 (l + c⁶); d₃ = 2 (l – c⁶).

Практична реалізація ланок високого порядку, як правило, за­безпечується за допомогою каскадного (послідовного) і (або) пара­лельного з'єднання ланок першого, другого і третього порядків.

Як приклад розглянемо задачу визначення передавальної функції цифрового ФНЧ з монотонно спадною АЧХ (аналоговий прототип – фільтр Баттерворта).

Задаються такі параметри фільтра: частота зрізу f_p = 4 кГц, гра­нична частота смуги затримання f_s = 8 кГц, нерівномірність АЧХ у смузі пропускання = =1,6 дБ, гарантоване затухання в смузі затримання =А₃ = 12 дБ, частота дискретизації f_д = 12 кГц.

Порядок фільтра визначається відповідно до відношення (3.7):

і округляється до двох.

Передавальна функція нормованого аналогового фільтра Баттерворта НЧ другого порядку (3.8) має вигляд

Н(р)₂ = 1/(1 + р + р²)

Після заміни H(p)₂ = l/[l + (p/ ) + (р/ )²].

Застосуємо білінійне Z-перетворення:

, ,

де

Коефіцієнти у виразі H(Z)₂ будуть:

де

Функціональна схема розрахованого рекурсивного цифрового ФНЧ другого порядку зображена на рис. 3.13.

Рис. 3.13. Функціональна схема цифрового ФНЧ другого порядку

Амплітудно-частотну характеристику фільтра знаходять згідно з виразом (3.12).