1. Фундаментальні рівняння косм геодезії

В геодезіїї найбільш поширеними системами координат , що використовується в практиці є геоцентрична і референцна системи. Нехай XYZ геоцентрична система координат, а референцна система координат. Положення центрів цих систем координат один відносно одного визначається . Нехай Q точка на земній поверхні, положення якої в реф сис коор задається вектором . Допустимо, що т С відображення положення супутника на орбіті і цей супутник на орбіті визначається топоцентричним вектором . Нехай вектор характеризує положення супутника в геоцентричній системі координат. утворений таким чином замкнутий векторний многокутник, що дозволяє встановити функціоналну залежність між відповідними системами координат. Якщо референцна система координат не співпадає із геоцентричною, то при встановленні функціонального зв’язку необхідно враховувати, як зміну масштабу між системами координат так і вплив кутів повороту осей координат на функціональний зв’язок. Тому в векторному вигляді цей зв’язок запишеться так:

Де М матриця масштабів

, (1)

П – матриця повороту

, (2)

– кути повороту референтної системи координат відносно геоцентричної системи, відповідно довкруги осі Х, відносно осі Y, відносно Z.

Формули (1), (2) називають фундаментальним рівнянням космічної геодезії в векторному вигляді.

Запишемо в координатній формі:

, (3)

Формули (3) називають фундаментальним рівнянням космічної геодезії в координатній формі.

Якщо центр референтної системи координат співпадає з центром геоцентричної, і осі координат також співпадають між собою, то:

, (4)

2. Визначення координат супутника з його синхронних фотографічних спостережень

Нехай на земній поверхні відомі координати двох точок земної поверхні. Ставиться задача визначити геоцентричні просторові координати супутника. Для визначення координат супутника використаймо фотографічний метод спостереження, який дозволяє обчислювати екваторіальні координати супутника на момент спостережень. Приймемо, що координати т Q₁ і Q₂ задані в референцні системі координат, а також відомо що кути Ейлера дорівнюють 0, що дозволяє стверджувати, що геоцентрична і референцна системи координат між собою паралельні. На основі фундаментального рівняння космічної геодезії у випадку паралельності систем координат маємо:

Утворимо різницю цих рівнянь

, (1)

З’єднаймо точки Q₁ і Q₂ на поверхні вектором . З векторного трикутника Q`Q₁Q₂ маємо:

, (2)

Підставимо (2) в (1)

, (3)

В (3) є топоцентричними векторами супутника, а відстань міжQ₁ і Q₂ на земній поверхні.

(3) – е головним рівнянням фотографічного методу спостережень в векторній формі.

В координатній формі воно запишеться так.

і

Різницю координат представимо через r і відповідні напрямні косинуси.

, (4)

В формулах (4) є орієнтуючим кутом векторів і відносно осі х. як правило в геоцентричній системі координат вісь х направляють в точку весняного рівнодення, тоді визначимо за формулою зоряного часу.

, (5)

S – момент спостереження за зоряним часом.

, (6)

В формулах невідомими є і . Оскільки ми маємо три рівняння з двома невідомими, то із розв’язку цих рівнянь отримаємо і .

, (7)

За відомою відстанню до супутника, його координати визначаться з виразу:

, (8)

Таким чином, якщо з 2 довільних точок місцевості одночасно (синхронно) спостерігається супутник, то отримані результати спостережень дозволяють однозначно визначити координати супутника в просторі, ці координати будуть референцними або геоцентричними.