Цель и задачи дисциплины

Целью преподавания учебной дисциплины «Математика» является овладение студентами основами высшей математики, применение математических методов к решениям математических и экономических задач.

При преподавании учебной дисциплины «Математика» ставятся следующие задачи:

• усвоение студентами фундаментальных понятий таких разделов математики, как алгебра, аналитическая геометрия, математический анализ, дифференциальное и интегральное исчисление, дифференциальные уравнения, теория вероятностей и математическая статистика;

• изложение основных сведений о понятиях, фактах дисциплины;

• овладение студентами основными методами постановки и решения задач указанных выше разделов математики.;

• развитие у студентов аналитического мышления и общей математической культуры;

• привитие студентам умения самостоятельного изучения учебной и научной литературы в области высшей математики;

• приобщение студентов к самостоятельной творческой работе, к умению выделять главные факторы, выбирать методы решения математических задач.

Программа дисциплины

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Матрицы, действия над матрицами. Собственные значения матрицы. Определители второго и третьего порядков, их свойства. Алгебраические дополнения и миноры. Определитель n - го порядка. Вычисления определителя разложением по строке (столбцу). Обратная матрица. Системы линейных уравнений. Матричная запись системы линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы. Правило Крамера. Метод Гаусса. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли, ранг матрицы. Метод координат. Векторы. Линейные операции над векторами. Направляющие косинусы и длина вектора. Понятие о векторных диаграммах в науке и технике. Скалярное произведение векторов и его свойства. Длина вектора и угол между векторами в координатной форме. Условия коллинеарности и ортогональности двух векторов. Механический, геометрический смысл скалярного произведения. Уравнения линий на плоскости. Различные формы уравнений прямых на плоскости. Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой. Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Свойства. Канонические уравнения кривых второго порядка.

Элементы математического анализа

Элементы теории множеств. Выпуклые множества и их свойства. Множество вещественных чисел. Функция. Область определения, область значения функции. Способы задания и основные свойства функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Виды преобразований графиков функций. Суперпозиция функций. Обратная функция, ее график и свойства. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Существование предела монотонной и ограниченной последовательности. Предел функции в точке и на бесконечности. Пределы монотонных функций. Свойства функций, имеющих предел в точке или на бесконечности. Замечательные пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции (величины), их свойства. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции, их применение в вычислениях пределов. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке. Точки разрыва функции. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений.

Ряды

Числовые ряды. Сходимость ряда. Необходимый признак сходимости ряда. Эталонные ряды. Ряды с положительными членами. Признаки сравнения. Ряды с положительными членами. Признаки Даламбера и Коши. Ряды с членами произвольного знака. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда. Ряды Маклорена и Тейлора.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Понятие функции, дифференцируемой в точке. Геометрический и физический смысл производной функции. Производная сложной и обратной функции. Правила дифференцирования, таблица производных. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Применение дифференциала к приближенным вычислениям функций. Производные и дифференциалы высших порядков. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши, их применение. Правило Лопиталя. Применение производной функции к вычислению пределов.

Применение дифференциального исчисления к исследованию функций

Условия монотонности функций. Экстремумы функции, необходимые и достаточные условия точек экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции дифференцируемой на отрезке. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба. Асимптоты функции. Общая схема исследования функции и построение ее графика. Понятие кривой. Примеры. Уравнение касательной к кривой в данной точке.

Элементы высшей алгебры

Комплексные числа, действия над ними. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная формы записи комплексного числа. Формулы Эйлера. Корни из комплексных чисел.

Неопределенный и определенные интегралы

Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование некоторых видов иррациональностей. Интегрирование тригонометрических функций. Таблица интегралов. Методы замены и интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона – Лейбница, ее применение в вычислении определенных интегралов. Методы замены и интегрирования по частям в определенном интеграле. Двойной и тройной интегралы, их свойства. Вычисление кратных интегралов повторным интегрированием.

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных. Область определения. Предел функции. Некоторые понятия топологии. Частные производные. Полный дифференциал, его связь с частными производными. Производная по направлению. Градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Частные производные высших порядков. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа, применение в поиске оптимальных решений.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Задачи приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнение с правой частью специального вида. Приложение к описанию линейных моделей в экономике. Нормальная система дифференциальных уравнений. Векторная запись нормальной системы. Геометрический смысл решения. Приложение в моделирование экономических процессов. Задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений.

Теория вероятностей

Предмет теории вероятностей. Пространство элементарных событий. Понятие случайного события. Классическое, геометрическое и статистическое определения вероятности. Комбинаторика. Основные формулы комбинаторики. Правила комбинаторики. Условная вероятность. Теоремы вероятностей суммы и произведения событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Независимость случайных событий. Схема Бернулли. Бином Ньютона. Дифференциальная и интегральная теоремы Лапласа, теорема Пуассона. Случайные дискретные величины, закон распределения. Математическое ожидание и дисперсия случайной дискретной величины. Случайные непрерывные величины. Функция распределения, плотность распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание и дисперсия случайной непрерывной величины. Равномерное и нормальное распределение вероятностей случайной непрерывной величины. Случайные векторы. Закон распределения. Числовые характеристики случайных векторов. Условные математические ожидания. Функция случайных векторов, законы распределения. Закон больших чисел. Теоремы Бернулли и Чебышева. Центральная предельная теорема Ляпунова.

Математическая статистика

Основы статистического описания. Генеральная совокупность и выборка. Эмпирические распределения, их свойства. Гистограмма и полигон частот. Выборочные характеристики и их распределения. Точечные оценки параметров. Отыскание оценок методом моментов. Интервальные (доверительные) оценки параметров. Интервальные оценки параметров нормального и биноминального распределений. Статистическая проверка гипотез. Простые и сложные гипотезы. Оценки параметров эмпирических зависимостей по методу наименьших квадратов. Элементы корреляционного анализа. Уравнения прямых регрессий. Оценка коэффициента корреляции по выборочным данным.

Экономико-математические методы

Обсуждение основ математического моделирования в экономических исследованиях. Задачи линейного и целочисленного программирования. Модель оптимального планирования производства. Модель о смешении. Модель оптимального раскроя. Модель транспортной задачи. Геометрическая интерпретация и графическое решение задачи линейного программирования. Симплекс-метод. Ключевые идеи симплекс-метода. Стандартная форма задачи линейного программирования. Определение базисных решений. Алгоритм симплекс-метода. Условие допустимости решения. Условие оптимальности решения. Метод Гаусса-Жордана вычисления нового базисного решения. Особые случаи применения симплекс-метода. Вырожденность. Альтернативные оптимальные решения. Неограниченные решения. Отсутствие допустимых решений. Двойственная модель. Двойственность задач в линейном программировании. Теоремы двойственности. Нахождение исходного допустимого базисного решения методом северо-западного угла и методом минимального элемента транспортной задачи. Понятие цикла. Метод потенциалов решения транспортной задачи. Связь коэффициентов целевой функции через свободные переменные с потенциалами. Признак оптимальности решения транспортной задачи методом потенциалов и аналогия признака оптимальности в симплекс – таблице.

Классификация экономико-математических моделей. Распространенные задачи математического программирования. Задачи многокритериальной оптимизации. Нелинейное и динамическое программирование. Математическая теория оптимального управления. Функции Лагранжа. Решение классической задачи оптимизации методом Лагранжа. Принцип оптимальности Беллмана. Марковские процессы. Модели сетевого планирования. Основные требования к сетевым моделям. Основные характеристики сетевых моделей. Сетевое планирование в условиях неопределенности. Сети Петри. Математическая теория оптимального управления. Матричные игры. Кооперативные и некооперативные игры. Игры с природой. Плоские графы, гамильтоновы графы, орграфы. Задачи анализа замкнутых и разомкнутых систем массового обслуживания. Понятие экономических рядов динамики. Разложение в общем случае временного ряда на структурно образующие элементы. Предварительный анализ и сглаживание временных рядов экономических показателей. Метод Ирвина. Метод проверки разностей средних уровней. Метод Фостера-Стьюарта. Метод простой скользящей средней.

Экономическое прогнозирование. Характеристика типов кривых роста. Вычисление параметров кривых роста методом наименьших квадратов. Критерии адекватности моделей экономического прогнозирования. Критерий, основанный на поворотных точках. Критерий Дарбина-Уотсона на наличие (отсутствие) автокорреляции в отклонениях от модели роста. Первый коэффициент автокорреляции. R/S-критерий для проверки соответствия ряда остатков нормальному закону распределения. Оценка точности модели. Построение точечного и интервального прогнозов.

Экономико-математические модели

Прикладные модели. Модель потребительского выбора с двумя видами благ. Функции полезности. Свойства функции полезности. Линии безразличия и их свойства. Задача потребительского выбора. Решение задач потребительского выбора и его свойства. Геометрическая интерпретация решения задачи потребительского выбора. Функции спроса. Общая модель потребительского выбора. Взаимозаменяемость благ и эффекты компенсации. Взаимодополняемость благ. Уравнение Слуцкого. Кривые «Доход – потребление». Кривые «Цены-потребление». Коэффициенты эластичности. Коэффициент эластичности спроса от дохода. Коэффициент эластичности спроса от цен.

Коэффициенты эластичности выпуска по ресурсам; предельные нормы замещения ресурсов; коэффициенты эластичности замещения ресурсов. Наиболее распространенные производственные функции. Функция с фиксированными коэффициентами, функция Леонтьева. Линейная функция. Функции выпуска продукции. Производственные функции затрат ресурсов. Использование производственных функций на микроэкономическом и на макроэкономическом уровне. Формальные свойства производственных функций. График двухфакторной производственной функции Y (K, L). Определение средних и предельных показателей, характеризующих производственный процесс производственными функциями. Коэффициенты эластичности выпуска по ресурсам; предельные нормы замещения ресурсов; коэффициенты эластичности замещения ресурсов. Наиболее распространенные производственные функции. Функция с фиксированными коэффициентами, функция Леонтьева. Линейная функция. Модели поведения фирмы в условиях совершенной и несовершенной конкуренции. Модели общего экономического равновесия. Модель Эрроу-Гурвица. Статистическая и динамическая модели межотраслевого баланса. Общие модели развития экономики. Модель Солоу.