9. Пространство состояний

Поскольку свойства системы выражаются значениями ее выходов, то состояние системы можно определить как вектор значений выходных переменных Y = (y₁,..,y_m). Выше говорилось, что среди составляющих вектора Y, кроме непосредственно выходных переменных появляются произвольные от них.

Поведение системы (ее процесс) можно изображать разными способами. Например, при m выходных переменных могут быть следующие формы изображения процесса:

• в виде таблицы значений выходных переменных для дискретных моментов времени t₁,t₂…t_k;

• в виде m графиков в координатах y_i – t, i = 1,…,m;

• в виде графика в m-мерной системе координат.

Остановимся на последнем случае. В m-мерной системе координат каждой точке соответствует определенное состояние системы.

Множество возможных состояний системы Y (у ∈ Y) рассматривают как пространство состояний (или фазовое пространство) системы, а координаты этого пространства называют фазовыми координатами.

В фазовом пространстве каждый его элемент полностью определяет состояние системы. Точка, соответствующая текущему состоянию системы, называется фазовой, или изображающей, точкой.

Фазовая траектория — это кривая, которую описывает фазовая точка при изменении состояния невозмущенной системы (при неизменных внешних воздействиях). Совокупность фазовых траекторий, соответствующих всевозможным начальным условиям, называется фазовым портретом.

Фазовый портрет фиксирует только направление скорости фазовой точки и, следовательно, отражает лишь качественную картину динамики.

10. Устойчивость динамических систем

Устойчивость характеризует одну из важнейших черт поведения систем и является фундаментальным понятием, используемым в физике, биологии, технике, экономике, а также кибернетике. Понятие устойчивости применяется для описания постоянства какой-либо черты поведения системы, понимаемого в весьма широком смысле. Это может быть постоянство состояния системы (его неизменность во времени) или постоянство некоторой последовательности состояний, «пробегаемых» системой в процессе ее движения, или постоянство числа определенного биологического вида, живущего на земном шаре, и т. п.

Под устойчивостью понимается свойство системы возвращаться к равновесному состоянию или циклическому режиму после устранения возмущения, вызвавшего нарушения последних.

Устойчивость есть категория, относящаяся, прежде всего, к собственным движениям системы, порождаемым начальными условиями (возмущениями) и внутренними свойствами системы, но не внешними воздействиями.

Состояние равновесия, в которое система способна возвращаться, называют устойчивым состоянием равновесия.

Состояние устойчивости (устойчивое состояние) – это такое равновесное состояние системы, в которое, она возвращается после снятия возмущающих воздействий. Устойчивость в экономических системах, несмотря на кажущуюся аналогию с техническими, - гораздо более сложное понятие. Поэтому использовать это понятие для экономических систем можно только условно, в основном для предварительного описания их поведения.

Об устойчивости и всевозможных движениях системы можно судить по фазовому портрету. Фазовый портрет в окрестности произвольной неподвижной точки принадлежит одному и только одному из трех типов точек:

1) асимптотически устойчивой;

2) нейтрально устойчивой;

3) неустойчивой.

Точная и строгая формулировка понятия устойчивости применительно к состоянию равновесия динамической системы была дана выдающимся русским ученым A.M. Ляпуновым. Неподвижная точка системы а называется устойчивой (или аттрактором), если для любой окрестности N точки а существует некоторая меньшая окрестность этой точки N' ⊂ N, такая, что любая траектория, проходящая через N', остается в N при возрастании t.

В более широком понятии аттрактор определяется следующим образом: Аттрактор (от лат. Attraho – притягиваю к себе) – область устойчивости, куда стремятся траектории в фазовом пространстве.