3.Вес измерения, ошибка единицы веса, вес функции. Их использование в математической обработке измерений.

Весом измерения (Р) называют величину, обратно пропорциональную квадрату среднеквадратической ошибки измерения, принятой для всего ряда за эталон и конкретного измерения, вес которого и необходимо вычислить. Вес является относительной мерой точности.

Р_i = μ ²/m_i² , где Р_i – вес i-того измерения, m_i² – среднеквадратическая ошибка i-того измерения, μ – некоторая безразмерная и произвольная величина (ошибка конкретного измерения). Таким образом, вес определяет соотношение точностей эталонного и i-го измерений. При равенстве среднеквадратических ошибок эталонного и i-го измерений Р_i =1. Следовательно, μ – это среднеквадратическая ошибка измерений, вес которой равен 1. В практике вычислений в качестве величины μ принимается среднеквадратическая ошибка единицы веса .

Роль веса измерения заключается в том, что в сложных построениях (геодезические сети) разнородные по своей точности измерения приходится обрабатывать в одном комплексе. Это порождает задачу их учета таким образом, чтобы их влияние на окончательный результат обработки оказался пропорциональным их точности. Более точные измерения должны учитываться в построении с большим весом, а менее – с меньшим.

Вычисление ошибки единицы веса(μ) производится :

Пусть имеется ряд измерений x₁, x₂, x₃, ... , x_n. Это результаты измерений одной и той же величины. Они имеют разные ошибки m₁, m₂, m₃, ... , m_n.

Таким образом, получаем веса P₁, P₂, P₃, ... , P_n. μ' = m₃

Наиболее надежным значением является среднее весовое:

_{где [] – знак Гауссовой суммы}

Ошибка единицы веса выбирается произвольно, но при этом веса должны быть близки к 1. Это удобно для дальнейших вычислений.

Ошибка единицы веса:

n – число измерений, которые используются в обработке.

V_i – отклонение x_i от средне весового:

После обработки μ' ≈ μ.

Отклонения V обладают свойствами:

1. [PV] = 0, или должна стремиться к 0.

2. [PV²] = min

Вес функции

Аналогично из P_i= μ ² /m_i² имеем P_F= μ ² /m_F² – вес функции в общем измерении.

Значение веса функции заключается в его использовании для оценки точности самих функций через выражение P_F= μ ² /m_F². Действительно, если известны ошибки измерений m_i , то далее для совместной их обработки определяются их веса с тем, чтобы определить обратную весовую матрицу функции.

4 Виды измерений и ошибок в геодезии и картографии. Классификация ошибок.

Виды измерений. Измеренная величина - это сравнение ее с однородной ей величиной, принятой в качестве единицы меры.

Понятие равноточных и неравноточных измерений: Равноточные измерения - однородные результаты, полученные в одном комплексе условий: приборы, количество приемов, технические требования в обеспечении измерений, однородность метеорологических условий и.т.п.

Неравноточные (неоднородные) – измерения, выполненные приборами различной точности или в существенно различных условиях.

Необходимые и избыточные измерения: Необходимые измерения - минимальное число измерений, позволяющее получить одно единственное значение неизвестной величины. Эти измерения не ставят задачи уравнивания в геодезических измерениях

Избыточные измерения – измерения превышающие необходимое число измерений. Играют важную роль в геодезических измерениях – позволяют обнаружить грубые ошибки в измерениях и вычислениях, произвести оценку точности всех измеренных и вычисленных по ним величин и повысить точность их определения.

Виды ошибок. Ошибка- отклонение измеренной величины от ее истинного значения

Q=x(i) - X - истинная ошибка; случайная ошибка V(i)=x(i) - М[х], где x(i)- тый результат измерения величины Х, М – математическое ожидание; V(i)=x - х(ср.)

Классификация ошибок 1) по природе возникновения:

1. Инструментальные ошибки - ошибки юстировки инструмента, деления вертикального круга, микрометра (рен, случайные ошибки, систематические ошибки).

2. Ошибки за влияние внешних условий - преломление лучей, неравномерность освещения, кручение сигнала, неустойчивость инструмента, температурное влияние и.т.д.

3. Ошибки за влияние среды – рефракция, туман, действие ветра, воздушн.потоки и др.

4. Личные ошибки – ошибки конкретного наблюдателя, зависят от остроты зрения и опыта работы наблюдателя.

2) по характеру:

1. Грубые – являются следствием каких-либо просчетов наблюдателя, неисправностей приборов, их смещений в момент измерений, неверной методики, резкого ухудшения внешних условий и др. Измерения с грубыми ошибками отбраковывают.

2. Случайные – элементарные ошибки (приборные, вызываемые неточностью при изготовлении и сборке деталей приборов; ошибки внешних условий, личные), математическое ожидание которых равно 0. Случайные ошибки по величине обычно больше систематических, но за счет взаимных компенсаций оказывают меньшее влияние на окончательные результаты.

3. Систематические – элементарные ошибки, матем.ожидание которых отлично от 0. Их величина зависит от применяемой методики. Систематические ошибки по характеру действия делят на: а) постоянные – сохраняют знак и величину; б) односторонне действующие, меняющиеся по величине, но сохраняющие знак; в) функциональные – изменяющиеся по какому-либо закону.

Случайные ошибки можно рассматривать как суммарную случайную величину, для которой справедлива теорема Ляпунова: Если некоторая случайная величина есть сумма достаточно большого числа независимых случайных величин, отклоняющихся от математического ожидания на величину значительно меньшую суммы случайной величины, то закономерность распределения суммы величины близка к нормальной.

Т.Л. позволяет унифицировать подход в уравнивании всех случайных величин в геодезии.