3.2 Побудова логарифмічних частотних характеристик розімкнутої системи

При побудові результуючих частотних характеристик для групи послідовно з'єднаних ланок результуючий модуль (амплітудно-частотна характеристика розімкнутої системи) можна дістати як добуток модулів всіх ланок, а результуючу фазочастотну характеристику - як суму фазочастотних характеристик відповідних ланок. Тоді:

Рис.3.7 Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика розімкнутої системи

3.3 Побудова логарифмічних частотних характеристик системи за збуренням

Амплітудно-частотна характеристика записується у вигляді:

=

= .

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика системи за збуренням системи:

Рис.3.8 Логарифмічні амплітудно-частотні характеристики системи за збуренням

Розділ 4 дослідження системи на стійкість

4.1 Дослідження системи на стійкість за алгебраїчними критеріями (критерій Гурвіца)

Дослідимо дану систему за критеріями Гурвіца.

Прирівняємо знаменник передаточної функції замкнутої системи до нуля і запишемо характеристичне рівняння:

Знаходимо визначник Гурвіца користуючись такими правилами:

• по головній діагоналі записуємо коефіцієнт характеристичного рівняння ;

• місця зверху від діагоналі заповнюємо коефіцієнтами з більшим індексом, а знизу від діагоналі – з меншим індексом. При відсутності коефіцієнтів ставимо нулі.

• діагональні мінори визначаємо із головного детермінанта Гурвіца викреслюванням відповідних стовпчиків і рядків.

Коефіцієнти дорівнюють

Визначаємо діагностичні мінори :

Система вважається стійкою у випадку якщо a₀>0, a₁>0, a₂>0, a₄>0, ∆₄>0, ∆₃>0, ∆₂>0. Отже, система є нестійкою, бо ∆₃<0, ∆₂<0.

4.2 Дослідження системи на стійкість за частотними критеріями

4.2.1 Дослідження системи на стійкість методом d-розбиття

Для розв’язання поставленої задачі побудуємо межу в комплексній площині параметра k.

– характеристичне рівняння.

Зведемо характеристичне рівняння до вигляду , коли коефіцієнт а₀ дорівнює одиниці: D(p)= pⁿ + a₁p^n-1+ a₂ p^n-2+…+ a_n-1 p+a_n=0;

Відповідно отримаємо характеристичне рівняння:

Знаходимо параметр k:

Знаходимо комплексний вираз параметра k, використовуючи підстановку

Виділимо дійсну А(w) і уявну В(w) складові:

Задаючи значення від , побудуємо криву D-розбиття Практично для цього слід знайти критичні точки, які відповідають переходам кривої D - розбиття через дійсну і уявну осі комплексної площини.

Рис.4.1 Крива d-розбиття

Із виразу можна знайти значення при якому рівне нулю, що відповідає переходу кривої D-розбиття через горизонтальну вісь. Відповідні значення знайдемо із виразу:

Звідки:

Виконані розрахунки дають змогу встановити критичні значення параметра k_кр=22,67 з врахуванням деякого запасу стійкості можна виділити зону рекомендованих значень коефіцієнта підсилення розімкнутої системи. Визначена за правилом штриховки зона стійкості знаходиться зліва від кривої D-розбиття. Значення k вибирається по точках, які лежать на дійсній осі , тому що всі інші точки відповідають комплексним величинам, а коефіцієнт k є реальною фізичною величиною.

Отже, для забезпечення стійкості системи рекомендоване значення параметра k=1…20.