3. Скалярное произведение векторов.
Под углом между ненулевыми векторами и будем понимать угол между направленными отрезками и , имеющими общее начало и обозначается .
Векторы и называются ортогональными, если угол между ними прямой =π/2 и обознается .
Определение 15. Скалярным произведением векторов и называется число .
Если хотя бы один из векторов или нулевой, то неопределен и считается .
Пусть - вектор, l – прямая, точка ОÎ l. Отложим и построим точку A1 – ортогональную проекцию точки А на l.
Говорят, что ОА1 - проекция вектора на ось l и обозначают ОА1 .
Из прямоугольного треугольника ОАА1 получаем то есть
Теорема 7. (Свойства скалярного произведения векторов)
1. :
2. :
3. , Î ℝ:
4. :
Доказательство.
1. = =
2. Учтем, что = = = .
Тогда, применяя свойства проекций получим = .
3. Доказывается аналогично с учетом свойства проекций:
4. пппп
Теорема 8 (критерий ортогональности векторов). Пусть Тогда
Доказательство.
а) Необходимость(). Пусть
=0.
а) Достаточность(). Пусть =0. Так как и , то и cos =0 (поскольку Î [0, π]) .
Определение 16. Базис { , , } пространства называется ортонормированным, если его различные векторы попарно ортогональны и их длины равны 1.
Векторы ортонормированного базиса называются ортами координатных осей и обозначаются , то есть
Определение 17. Аффинная система координат, базис которой ортонормирован, называется прямоугольной декартовой системой координат {О, }.
Для ортов справедливо
1) Скалярное произведение одноименных ортов равно 1. Действительно, Аналогично .
2) Скалярное произведение разноименных ортов равно 0. Например, по теореме 8, так как . Аналогично
Теорема 9. В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов , выражается через их координаты по формуле .
Доказательство следует из свойств скалярного произведения в ортонормированном базисе – Гл.
Следствие 9.1. Пусть в прямоугольной декартовой системе координат , . Тогда
1.
2. cos =
Доказательство.
1. По теореме 7,
2.
(теорема 9, сл. 9.1)
4. Векторное и смешанное произведение векторов.
Определение 18. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правоориентированной (правой), если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки, в противном случае тройка векторов называется левой.
левая правая
Определение 19. Векторным произведением вектором и называется вектор , удовлетворяющий условиям:
1. , т.к.
2.
3. образуют правую тройку векторов
В частности, из п.1, определения 19 следует, что если хотя бы один из векторов равен , то их векторное произведение равно , поскольку имеет нулевую длину.
Теорема 10. (Свойства векторного произведения векторов)
1. антикоммутативность.
2. если ∦ , то - площадь параллелограмма, построенного на векторах и .
3.
4.
5. Пусть Тогда || .
Доказательство. 1. Пусть , , по определению 19,
а) .
б) ; || .
в) - правая тройка, - правая тройка , что видно из рисунка.
Из а-в), по определению 7 противоположного вектора, следует , что и требовалось доказать.
2. Определение 19
5. Необходимость () || .
Достаточность () или или || или || или || .
Теорема 11. Пусть в правом ортонормированном базисе векторы заданы своими координатами , .
Тогда
То есть .
Из свойств векторного произведения следует, что
1) Векторное произведение одноименных ортов равно . Действительно, по теореме 10 (5), , так как || , || , || .
2) Векторное произведение разноименных ортов находится по правилу
.
Определение 20. Смешанным произведением векторов называется число и обозначается .
Теорема 12. (Свойства смешанного произведения векторов)
1. Смешанное произведение векторов по абсолютной величине равно объему параллелепипеда, построенного на : .
2. компланарны.
3. . То есть, формально, в записи смешанного произведения знаки операций можно менять местами. Исходя из этого в обозначении не ставят знаки операций.
4. . То есть, от перемены мест двух любых сомножителей в смешанном произведении знак смешанного произведения меняется на противоположный.
Теорема 13. Пусть в правом ортогональном базисе векторы заданы своими координатами: , , .
Тогда смешанное произведение
Доказательство следует непосредственно из теорем 9 и 11.