- •Глава II. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1
- •§2. Умножение матриц; матричная запись системы линейных алгебраических уравнений (слау).
- •§3. Системы линейных алгебраических уравнений (слау): решение; равносильные преобразования системы; матричная форма записи.
- •§4. Метод Жордана-Гаусса (метод полного исключения) решения слау.
- •Тр-1.6 «Решение матричных уравнений».
- •§6 Определитель матрицы.
- •§7. Свойства и вычисление определителей.
- •§8. Теорема и формулы Крамера.
§6 Определитель матрицы.
Пусть Аm- квадратная матрица порядка “m”, и aik – элемент “i”- строки и “k”- столбца матрицы; I,k=1..m. Вычеркнем из матрицы А “i”- строку и “k”- столбец и назовем полученную матрицу “m-1”- порядка дополнительной матрицей элемента aik.
Определение-1. Определителем матрицы второго порядка называется число
detD11=40-54=-14;
Определение-2. Алгебраическим дополнением Aik элемента aik называется число
Aik=(-1)I+kdetDik; A11=(-1)2detD11=-14
Обратите внимание на «достойное удивления» свойство алгебраических дополнений элементов матрицы: суммы произведений элементов любой строки или любого столбца матрицы на их алгебраические дополнения равны между собой !!!
Определение-3. Определителем матрицы порядка “m>2” называется число
,
равное сумме произведений элементов (любой) строки или столбца (любого)на их алгебраические дополнения.
Следствия.
1) Определение-3 дает рекуррентный алгоритм вычисления detAm: определитель матрицы порядка “m” выражается через “m” определителей матриц порядка
“m-1”через m(m-1) определителей матриц порядка “m-2” … через
m(m-1)(m-2)..2=m! определителей матриц второго порядка, которые определены ЯВНО.
2) Вычислять detA следует по той строке или столбцу, которые имеют наибольшее количество нулевых элементов:
§7. Свойства и вычисление определителей.
EMBED Equation.3
Свойства определителя матрицы .
1. detAt=detA
2. Определитель «треугольной» матрица (все под- или над-диагональные элементы равны нулю) равен произведению ее диагональных элементов.
EMBED Equation.3
3. Определитель матрицы с "нулевой" строкой или столбцом равен нулю;
4. detA # 0 ==>алгебраические дополнения элементов любой строки или любого столбца не равны нулю одновременно.
5. (без док.) det(PikA)= - detA. При перестановке строк (столбцов) матрицы ее определитель умножается на -1. ==> Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю: Доказательство:
6. det(Mi(λ)A)=λdetA. При умножении строки (столбца) матрицы на число ее определитель умножается на это число :
==> det(λAm)=λmdetA.
7. (без док.)det(Sik(λ)A)=detA.- Определитель матрицы не изменится, если к ее строке прибавить другую строку, умноженную на число.
Замечание.Если в методе Жордана-Гаусса , свойства (5,6,7) позволяют вычислить определитель начальной (квадратной !!) матрицы СЛАУ.
Например, M1(λ)P34S23(μ)A=I det[M1(λ)P34S23(μ)A]=detI=1=λ(-1)detA detA=-1/λ.
Способы вычисления detAm.
detA3= "правило Саррюса"= (сумма произведений элементов в вершинах треугольников, сторона которых параллельна главной диагонали) – (сумма произведений элементов в вершинах треугольников, сторона которых параллельна другой диагонали)
detA= (+) ( - )
3) Приведение матрицы к треугольному виду – обнуление всех элементов с одной стороны диагонали с помощью операций Sij(λ).
§8. Теорема и формулы Крамера.
Запишем квадратную матрицу в виде ее столбцов:
Лемма. Сумма произведений элементов любой строки (любого столбца) матрицы на алгебраические дополнения другой строки (столбца) равно нулю:
Док-во. Рассмотрим матрицу B с двумя одинаковыми столбцами BI=BJ, полученную из матрицы А заменой ее j-столбца i-столбцом:
Am=[A1,…,AI,..,AJ,..Am]B=[A1,…,AI,…,BJ=AI,…AM] EMBED Equation.3
Из свойств определителей следует, что detB=0. С другой стороны, "по построению": элементы j-столбца bnj=anj, а их алгебраические дополнения Bnj=Ani
Поэтому:
!! Свойство алгебраических дополнений квадратной матрицы : "Сумма произведений элементов любой строки или столбца матрицы на "свои" алгебраические дополнения равна определителю матриицы, а на "чужие" - равна нулю !!!
---------------------------------------------------
Теорема Крамера. "Если определитель матрицы системы "m" линейных алгебраических уравнений с "m" неизвестными не равен нулю, система имеет единственное решение".
Док-во выполним на примере "m=3":
(1) Умножим каждое уравнение системы на алгебраическое дополнение соответствующего элемента первого столбца А i1 (i=1,2,3) и "сложим" полученные уравнения
EMBED Equation.3
(2), (3) -"-"-"-' второго и третьего столбцов -"-"-".
Так как detA # 0, все алгебраические дополнения столбца одновременно не равны нулю. Поэтому в результате (1),(2),(3) получим равносильную СЛАУ
EMBED Equation.3
Замечания.
1. Матрица Bi получается из матрицы А заменой ее "i" столбца столбцом из "правых частей" уравнений системы.
EMBED Equation.3
2. Теорема и формулы Крамера применимы только для "квадратных" систем "m" уравнений с "m" неизвестными.
3. На практике формулы Крамера при решении СЛАУ "разумно" использовать лишь для "m<4"; при "m≥4" решать систему следует методом Жордана-Гаусса.
Следствия из т. Крамера.
1) EMBED Equation.3
2) Однородная система линейных алгебраических уравнений AX=0 (с нулевой правой частью) не бывает несовместной : она ЛИБО имеет единственное нулевое решение, если detA#0, ЛИБО имеет множество решений, включая нулевое.
=========================================================================
МУ АХ=ВСЛАУ : 1)неstop;
2)!;
3)Метод? (как найти?).