- •Глава II. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1
- •§2. Умножение матриц; матричная запись системы линейных алгебраических уравнений (слау).
- •§3. Системы линейных алгебраических уравнений (слау): решение; равносильные преобразования системы; матричная форма записи.
- •§4. Метод Жордана-Гаусса (метод полного исключения) решения слау.
- •Тр-1.6 «Решение матричных уравнений».
- •§6 Определитель матрицы.
- •§7. Свойства и вычисление определителей.
- •§8. Теорема и формулы Крамера.
§4. Метод Жордана-Гаусса (метод полного исключения) решения слау.
Методом Жордана-Гаусса (методом полного исключения) называется алгоритм, в результате работы которого через конечное число «шагов»- равносильных преобразований либо обнаруживается несовместность системы (Х=), либо в явном виде находится множество ее решений, при этом РМ системы РМ=|Amxn|Bnx1| приводится к одному из трех видов: , а на месте матрицыВ –вектор-столбец – единственное решение СЛАУ.
[II] РМ: m<n и в левой части РМ получается единичная матрица Im размерности m<n и дополнительная матрица A1mx(n-m), элементы которой – коэффициенты при переменных xm+1,xm+2,…,xn: . В этом случае “m” неизвестных (x1,x2,…,xm) выражаются через остальные “n-m” неизвестных, которые могут принимать любые значения – xi>mC.Следовательно, такая СЛАУ имеет бесконечное множество решений.
[III] Если в расширенной матрице появляется строка вида [0 0…0|0], соответствующее уравнение системы и следовательно система решений не имеет : Х=(несовместная СЛАУ).
----------------------------------------------------------------
Экз. вопрос. Какие из вариантов множества решений СЛАУ возможны и какие не возможны ,если: (а) m>n ? (б) m=n ? (в) m<n ?
------------------------------------------------------------------
Замечания.
Если в процессе работы алгоритма в РМ появляется «нулевая строка» , она удаляется из РМ (количество строк уменьшается на единицу).
«Стратегия» метода Ж.-Г. заключается в последовательном преобразовании первого, второго,… столбцов левой части РМ к виду:
«Тактика» этой стратегии – «пошаговое» k=1,2,… обнуление всех недиагональных элементов (ik: aik0) сначала первого, затем второго и т.д. … столбцов левой части РМ с помощью равносильных преобразований Pij,Mi(),Sij().
!! На “k”-ом «шаге» (к=1,2,…):(a) диагональный элемент akk преобразуется в единицу (Mk(1/akk) akk 1)и затем недиагональные элементы “k” столбца обнуляются с помощью “k”строки(ik Sik(-aik): aik0).
В результате этих преобразований «к»-столбец преобразуется к виду
Проиллюстрируем алгоритм метода на трех примерах.
Пример 1. m=n=3.
Пример 2. m=2<n=3.
Пример 3. m=3>n=2. Проделайте подробно:
Тр-1.6 «Решение матричных уравнений».
Задание.
Часть 1. 1. Определить размерность матрицы Х в уравнении А1Х=С1 и записать ее явный («буквенный») вид.
2. Методом Ж-Г решить матричное уравнение XA1=C, используя тождества
3. Методом Ж-Г найти матрицу B2-1, обратную к В2, решив уравнение В2Z=I <=> Z=B2-1.
Часть 2. 1. Вычислить detB2.
2. Используя решение Х уравнения XA1=C1, найти матрицу D=C2 - A2X.
3. Методом обратной матрицы решить уравнение B2Y=D.
4. Показать, что матрицы Х и У являются решением системы матричных уравнений
Условие ТР содержит матрицы А13х4, С13х4, А24х3, В24х4, С24х3 и номер варианта:
A13х4
C13х4
A24х3
B24х4
C24х3
Вар.
Пример.
4.2)
Вариант Тр.
§5. Матричные уравнения. Обратная матрица.
Пусть заданы числовые матрицы Amxn, Bmxk .
Определение. Числовая матрица X соответствующей размерности называется решением матричного уравнения AX=B (ХА=В), если она обращает уравнение в верное равенство числовых матриц.
Например,
Рассмотрим уравнение AY=B
В общем случае, матричное уравнение A mxnX =Bmxk равносильно совокупности “k” СЛАУ с одинаковой матрицей A. Решать эти системы методом Жордана-Гаусса следует одновременно, записав «обобщенную» расширенную матрицу с “k” правыми частями РМ =[A |B1;B2;..; Bk].
Замечания.
1.Если в процессе работы по алгоритму Ж-Г:
в РМ появляется “нулевая строка” [0,0,…,0|0,0,..0], она удаляется из РМ.
в РМ появляется строка [0,0,…,0|0,bi#0,..0], равносильные преобразования заканчиваются: матричное уравнение решений не имеет;
РМ приводится к виду [In|b1;b2;…bk],система имеет единственное решение: Y=B=[ b1;b2;…bk];
2. Матричное уравнение ХА=B «не приспособлено» к методу Ж-Г; Алгоритм его решения такой: (а) сначала уравнение транспонируется , (б)затем методом Ж-Г решается уравнение и (в) полученный результат транспонируется:
Примеры.
Пусть задана квадратная матрица Am.
Определение.
Матрица А-1 называется обратной матрицей для матрицы А, если АА-1 =I.
Следствия.
1. Матрица имеет обратную, если существует решение матричного уравнения
2. Находится обратная матрица методом Ж-Г : [ A | I ] <==> [ I | A-1 ].
Можно показать, что квадратная матрица А одновременно имеет (или не имеет) «левую» А-1лев (А-1левA=I) и «правую» А-1пр (A А-1пр=I) обратные матрицы и они равны А-1лев= А-1пр; поэтому в дальнейшем будем обозначать A-1.
3. Если известна обратная матрица A-1, решения матричных уравнений AX=B и XA=B находятся методом обратной матрицы: обе части уравнения умножаются на A-1 «слева» или «справа», соответственно.
Например, Для - проверьте, чтоA-1A=I !!
Тогда,