- •Задачи с решениями
- •Замена переменных в двойном интеграле
- •1. Двойной интеграл в полярных координатах.
- •3. Вычисление площади плоской фигуры
- •Задачи с решениями
- •4. Вычисление объема тела
- •Задачи с решениями
- •5. Вычисление площади поверхности
- •Задачи с решениями
- •Индивидуальные задания
- •Тройной интеграл
- •Задачи с решениями
- •Приложения тройного интеграла
- •Задачи с решениями
- •Индивидуальное задание
МІНІСТЕРСТВО ТРАНСПОРТУ ТА ЗВ’ЯЗКУ УКРАЇНИ
Державний департамент з питань зв’язку та інформатизації
Державний університет інформаційно-комунікаційних технологій
Харківський коледж
ПОГОДЖЕНО
Заступник директора з НМР
____________C.Б.
Макашев
_____ _______ 2009р.
ЗАТВЕРДЖУЮ
Директор ХК ДУІКТ
_______________ О.П. Улєєв
____ ________ 2009р.
Методичні рекомендації
З дисципліни « Вища математика»
За темою « Кратні інтеграли»
Двойной интеграл в прямоугольных координатах
Пусть функция / (л:, у) определена в ограниченной замкнутой области D плоскости хОу. Разобьем область D произвольным образом на n элементарных областей, имеющих площади ∆σ1, ∆σ2… ∆σn и диаметры d1, d2,, .. dn (диаметром области называется наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой области). Выберем в каждой элементарной области произвольную точку Рk (ξ n;η n) и умножим значение функции в точке Рk на площадь этой области.
Интегральной суммой для функции / (х, у) по области D называется сумма вида
Если при max dk→ 0 интегральная сумма имеет определенный конечный предел
не зависящий от способа разбиения D на элементарные области и от выбора точек Рk в пределах каждой из них, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x;y) в области D и обозначается следующим образом:
Задачи с решениями
Решение
Решение
Решение
Решение Построим область D. Первая линия — парабола с вершиной в точке (0; 2), симметричная относительно оси Оу. Вторая линия—прямая. Решая совместно уравнения у = 2—х2 и у = 2х—1, найдем координаты точек пересечения: А(—3; —7), В(1; 1) (рис. 3).
Область интегрирования принадлежит к первому виду. Находим
Решение
Изменить порядок интегрирования в интеграле
Решение Область интегрирования D ограничена линиями х = —1, х =1, у =
Задачи
Вычислить если область D — прямоугольник
Вычислить если область D — прямоугольник
Вычислить если область D — прямоугольник
Вычислить
Вычислить
Вычислить если область D — ограничена линиями
Вычислить если область D — ограничена линиями
Вычислить если область D — ограничена линиями
Вычислить если область D —треугольник с вершинами
Изменить порядок интегрирования:
Замена переменных в двойном интеграле
1. Двойной интеграл в полярных координатах.
Преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат х, у к полярным координатам ρ, θ, связанным с прямоугольными координатами соотношениями х = pcos θ, у= р sin θ , осуществляется по формуле
Задачи с решениями
Перейдя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл
Решение Полагая х = pcos θ, у= р sin θ, имеем
Вычислить если область D—кольцо между окружностями
Решение Перейдем к полярным координатам:
Вычислить если область D—квадрат, ограниченный прямыми
Решение Положим
Решение Произведем замену переменных так, чтобы xy = uv и x2/y = v; тогда
Задачи
Переходя к полярным координатам, вычислить двойные интегралы:
3. Вычисление площади плоской фигуры
Задачи с решениями
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями х = 4y – y2, x+ y =6.
Решение Найдем координаты точек пересечения заданных линий, решая систему систему уравнений х = 4y – y2, x+ y =6 (чертеж рекомендуется выполнить самостоятельно). В результате получим A(4; 2), В (3; 3). Таким образом,
Решение
Задачи
Вычислить площади фигур, ограниченных заданными линиями:
16 17.
18.
19. 20.
21.
22.
23.
24.
4. Вычисление объема тела
Задачи с решениями
Найти объем тела, ограниченного поверхностями
и расположенного в I октанте.
Решение Тело, объем которого надо вычислить, ограничено сверху плоскостью
Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
Решение Данное тело ограничено сверху параболоидом Область интегрирования D — круговой сектор, ограниченный дугой окружности
Найти объем тела, ограниченного поверхностями
Решение
Задачи
Вычислить объемы тел, ограниченных заданными поверхностями:
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32
33.
34.
35.