- •Пам’ятка з елементарної математики
- •1. Класифікація дійсних чисел Дійсні числа, r
- •2. Протилежні та обернені числа
- •3. Властивості операцій додавання та множення
- •4. Дії над звичайними дробами
- •5. Модуль дійсного числа та його властивості
- •6. Поняття кореня та його властивості
- •7. Дії над степенями з натуральними показниками
- •8. Дії над коренями
- •8.2. Порядок виконання операцій взяття кореня та піднесення до степеня можна міняти місцями
- •Приклади до розділу 8
- •9. Формула коренів квадратного рівняння
- •Приклади до розділу 9
- •10. Градусна та радіанна міри плоского кута
- •11. Поняття тригонометричних величин: синус, косинус, тангенс і котангенс кута, їхні властивості.
- •12 Основні елементарні функції, їхні властивості та графіки
- •Завдання для самостійної роботи
Пам’ятка з елементарної математики
Розв’язки задач та завдання для самостійної роботи. Методична розробка / Укладачі: Онищенко В.В., Омецінська О.Б., Сергієнко І.-В. О, 2014.
1. Класифікація дійсних чисел Дійсні числа, r
Раціональні числа, Q |
Ірраціональні числа, R \ Q |
Число, що є відношенням pq двох цілих чисел.
Можна подати у вигляді скінченного або періодичного десяткового дробу, наприклад –35 = – 0,6; 83 = 2,333…= 2,(3) Множина раціональних чисел містить в собі підмножину Z цілих чисел …-3, -2, -1, 0, 1, 2 … , тобто ZQ. Множина Z цілих чисел містить в собі підмножину N натуральних чисел 1, 2 … ,тобто NZ. |
Всі дійсні числа R за винятком раціональних чисел Q. Можна подати у вигляді нескінченного неперіодичного десяткового дробу. Поділяються на алгебраїчні числа, наприклад, =1,4142…, татрансценден- тні, наприклад, =3,14159…, 3, , е=2,7182818…, е2. Алгебраїчні ірраціональні числа є нераціональними коренямими алгебраїчних рівнянь з цілочисленними коефіцієнтами, наприклад, |
2. Протилежні та обернені числа
Два числа протилежні, якщо їх сума дорівнює нулеві. Тобто, числа а, -а є протилежними, оскільки а+ (-а) = 0 .
Операцію віднімання можна звести до операції додавання за допомогою протилежного числа
,
тому вираз a ± b називається алгебраїчною сумою.
При множенні числа на -1 його знак змінюється на протилежний, тобто отримується протилежне число. Тому має місце формула
Два числа обернені, якщо їх добуток дорівнює одиниці. Тобто, числа а, 1/а є обернені.
Наприклад, числа 4 та 1/4 = 0,25 є оберненими.
Операцію ділення можна звести до операції множення за допомогою оберненого числа
3. Властивості операцій додавання та множення
3.1 Переставний (комутативний) закон: а + в = в + а; а в = в а
Сполучний (асоціативний) закон: а+ (в+с) = ( а+в)+ с = а + в + с; а (в с) = ( а в) с = а в с
3.3 Розподільний (дистрибутивний) закон а (в+с) = а в + а с
3.4 При множенні (діленні) добутку із кількох співмножників на число достатньо лише один із співмножників помножити (розділити) на це число
Правило внесення множника в дужки (розкриття дужок) та винесення множника за дужки
Тобто, при внесенні множника в дужки кожний доданок в дужках домножується на цей множник. При винесенні множника за дужки кожний доданок в дужках ділиться на цей множник.
Формули скороченого множення:
4. Дії над звичайними дробами
4.1 Основна властивість дробу: величина дробу не зміниться, якщо його чисельник та знаменник помножити (або розділити) на одне і те саме число
Звідси випливає правило скорочення дробу на спільний множник с чисельника та знаменника.
4.2 При множенні дробів множаться окремо їхні чисельники та знаменники
4.3 При діленні дробу на дріб перший дріб множиться на обернений до другого
Перший окремий випадок
,
тобто при діленні дробу на число його знаменник множиться на це число.
Другий окремий випадок
,
тобто при діленні числа на дріб це число множиться на обернений дріб.
4.4 При додаванні (відніманні) дробів з однаковими знаменниками додаються (віднімаються) лише їхні чисельники, а знаменник залишається незмінним
Звідси, з урахуванням основної властивості дробу (п.4.1), випливає правило додавання (віднімання) дробів на основі зведення їх до спільного знаменника
Приклади до розділу 4. Записати відповідь у вигляді простого дробу:
Розв’язання