Лабораторна робота № 5
Дослідження стійкості цифрових систем
Мета роботи:
Закріплення та поглиблення знань студентів при вивченні і дослідженні стійкості цифрових систем.
У результаті виконання роботи студенти повинні:
розуміти вплив розташування коренів характеристичного рівняння на стійкість цифрової системи;
вміти використовувати алгебраїчні та частотні критерії для дослідження стійкості цифрових систем.
Вихідні дані
В
ихідними
даними для виконання роботи є структурна
схема (рис. 5.1)
та параметри (табл. 5.1)
досліджуваної системи.
Порядок виконання роботи
При виконанні лабораторної роботи радимо додержуватися такого порядку:
1. Записати z-передаточну функцію зведеної безперервної частини цифрової системи.
2. Скласти розрахункову структурну схему, згідно з якою записати z-передаточну функцію та різницеве рівняння замкнутої системи.
3. Розрахувати на ЕОМ перехідний процес у досліджуваній системі при одиничному ступінчастому вхідному впливові.
Таблиця 5.1
Параметри досліджуваних систем до лабораторної роботи №5
№ з/п |
Схема на рис 5.1 |
Т |
К |
Т1, с |
Т2, с |
Т3, с |
КР |
К1, с |
Kd |
Тd, с |
1 |
а |
0,1 |
1 |
0,5 |
1 |
- |
2 |
1,5 |
1 |
0,2 |
2 |
б |
0,07 |
1,5 |
0,8 |
0,9 |
1 |
1 |
0,71 |
1,3 |
0,4 |
3 |
а |
0,25 |
1 |
2 |
3 |
- |
2 |
0,75 |
1,5 |
0,8 |
4 |
б |
0,1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
1 |
0,3 |
1,6 |
0,7 |
5 |
б |
0,05 |
2 |
0,5 |
0,9 |
1,5 |
1 |
0,4 |
1,4 |
0,25 |
6 |
а |
0,2 |
1,2 |
2 |
3 |
- |
4 |
1 |
3 |
0,4 |
7 |
а |
0,1 |
1,5 |
1,5 |
2 |
- |
2,5 |
1 |
1 |
0,4 |
8 |
б |
0,07 |
2,2 |
0,6 |
1,2 |
1,8 |
1 |
0,45 |
1,6 |
0,35 |
9 |
а |
0,1 |
2 |
0,5 |
1 |
- |
1 |
0,75 |
0,6 |
0,2 |
10 |
б |
0,08 |
2,7 |
0,8 |
1,4 |
2 |
1 |
0,35 |
2 |
0,3 |
11 |
б |
0,09 |
3 |
1,8 |
0,9 |
2,2 |
1 |
0,2 |
2,1 |
0,42 |
12 |
а |
0,1 |
2 |
1 |
2 |
- |
1 |
0,5 |
1 |
0,2 |
13 |
б |
0,12 |
0,9 |
1,1 |
1,7 |
1 |
0,25 |
1,8 |
0,3 |
0,12 |
14 |
а |
0,15 |
2,5 |
1,5 |
3 |
- |
2 |
1 |
3 |
0,4 |
15 |
а |
0,1 |
3 |
1 |
2 |
_ |
1,5 |
0,5 |
1 |
0,2 |
16 |
б |
0,12 |
3 |
3 |
2 |
1 |
1 |
0,2 |
2,35 |
0,35 |
17 |
а |
0,1 |
3 |
2 |
2,2 |
- |
1 |
0,25 |
1 |
0,4 |
18 |
б |
0,2 |
3,6 |
1,2 |
2,3 |
3,4 |
1 |
0,1 |
2,6 |
0,45 |
4. Визначити корені характеристичного рівняння замкнутої системи
(5.1)
та відобразити їх розміщення на комплексній площині. Також відобразити на рисунку межі зони, небезпечної з точки зору стійкості. За розташуванням коренів на площині z зробити висновок про стійкість.
5. Перейти від площини коренів z до площини коренів w, виконавши w-перетворення (виконати заміну змінної z в характеристичному рівнянні (5.1) замкненої системи на змінну w шляхом підстановки
. (5.2)
В результаті отримується поліноміальне рівняння
. (5.3)
Після приведення виразу (5.3) до спільного знаменнику дістанемо характеристичне рівняння того самого порядку
. (5.4)
Визначити корені отриманого поліноміального рівняння D’(w), відобразити їх на комплексній площині та за розташуванням коренів зробити висновок про стійкість системи.
6. Виконати дослідження стійкості замкнутої системи за алгебраїчним критерієм Гурвіца. Для цього за коефіцієнтами характеристичного рівняння у w-площині D’(w) скласти визначник Гурвіца
. (5.5)
Для стійкості системи необхідно, щоб визначник Гурвіца (5.5) та всі його діагональні мінори булими додатними, тобто
, 
… 
.
7. Виконати
дослідження стійкості замкнутої системи
за частотним критерієм Михайлова. Для
цього в характеристичне рівняння
замкнутої системи D(z)
необхідно виконати підстановку
(5.6)
і, побудувати
годограф
в діапазоні змінення відносної частоти
0 ≤ 
≤π.
За виглядом отриманої кривої визначити
стійкість системи.
8. Виконати
дослідження стійкості замкнутої системи
за частотним критерієм Найквіста. Для
цього потрібно визначити дискретну
передаточну функцію розімкненої системи
і дослідити стійкість розімкненої
системи (наприклад, за алгебраїчним
критерієм Гурвіца). Побудувати АФХ
розімкнутої системи в функції відносної
частини на діапазоні 0 ≤
≤π,
виконавши підстановку
в дискретну передаточну функцію
розімкнутої системи
. (5.7)
На підставі вигляду АФХ розімкнутого контуру зробити висновок про стійкість системи.
9. За виглядом ЛАЧХ та ЛФЧХ розімкнутого контуру в функції псевдочастоти визначити запаси стійкості за амплітудою та за фазою.
10. Зробити висновки з одержаних результатів.
Приклад 5.1. Для цифрової системи, структурна схема якої задана на рис. 5.2а, знайти z-передаточну функцію WЗН(z) зведеної безперервної частини. Скласти розрахункову структурну схему згідно з z-передаточними функціями цифрового регулятора та зведеної безперервної частини. Користуючись таблицями зворотного z-перетворення, знайти аналітичний вираз для розрахунку перехідної характеристики замкнутої системи. Дослідити стійкість замкнутої системи за коренями характеристичного рівняння в площинах z та w.