- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Архангельск
- •Рекомендации по решению задач контрольных работ
- •Основные теоретические сведения
- •Относительность движения. Система отсчета.
- •В декартовой системе координат такой радиус-вектор может быть представлен следующим образом:
- •Кинематика материальной точки
- •При постоянном угловом ускорении угловая скорость
- •Динамика поступательного движения
- •Первый закон Ньютона.
- •Второй закон Ньютона. Сила. Масса.
- •Замкнутые системы. Закон сохранения импульса.
- •Центр масс. Теорема о движении центра масс.
- •Работа и мощность в механике.
- •Кинетическая энергия материальной точки и механической системы
- •Консервативные и неконсервативные силы.
- •Потенциальная энергия
- •Закон сохранения механической энергии
- •Динамика вращательного движения твердого тела
- •Момент силы и момент импульса
- •Закон сохранения момента импульса
- •Момент инерции. Теорема Штейнера.
- •Моменты инерции некоторых однородных симметричных тел
- •Основное уравнение динамики вращательного движения
- •Кинетическая энергия и работа при вращательном движении абсолютно твердого тела
- •Работа при повороте твердого тела относительно произвольной неподвижной оси z на некоторый угол φ под действием внешних сил Мz
- •Примеры решения задач
- •Поэтому, учитывая, что
- •По третьему закону Ньютона
- •Проверим размерность
- •Произведем расчет
- •Варианты контрольной Работы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Рекомендуемая литература
- •Оглавление
Поэтому, учитывая, что
= ωR , (3)
где ω – угловая скорость, получим, подставив (3) в (2):
аn = ω2R (4)
Модуль тангенциального ускорения aτ связан с угловым ускорением ε:
aτ = εR (5)
Поэтому, подставив (4) и (5) в (1), получим
tg α = (6)
По условию задачи диск вращается равноускоренно, а его начальная угловая скорость ω0=0. Поэтому зависимости угла поворота φ радиус-вектора и угловой скорости ω точки М от времени t найдем по формулам
φ = , (7)
ω= (8)
Решая совместно (7) и (8), получим
φ = (9)
Выразив ε из формулы (9) и подставив его в (6), получим
tg α = 2φ
Отсюда, учитывая, что
φ = 2πN ,
где N – число оборотов диска, будем иметь
tg α = 4πN ,
т.е. α = arctg (4πN) .
Проверим размерность:
[α] = [ аrctg (4πN)] = рад .
Произведем расчет:
α = arctg (4π · 2) 1,5 рад 88°
Ответ: α = 88˚
Пример 3. Через блок, укрепленный в вершине наклонной плоскости, перекинута невесомая нерастяжимая нить с двумя грузами одинаковой массы m = 2,5 кг (рис.13). Найти силу давления на ось блока, если коэффициент трения k между наклонной плоскостью и лежащим на ней грузом равен 0,15, а угол наклона плоскости равен 30˚. Трением в блоке и его массой пренебречь.
Дано: m = 2,5 кг; k = 0,15; α = 30˚
Найти:Fд.
Решение:
На
первый груз, находящийся на наклонной
плоскости, действуют сила натяжения
нити
,
сила реакции опоры
,
сила трения
и сила тяжести m1
,
сообщающие
телу ускорение
(рис. 13).
Поэтому,
согласно второму закону Ньютона
,
(1)
или
в проекциях на ось х1
, которую мы направим параллельно
наклонной плоскости по направлению
движения первого груза
Т1 - - m1gsinα = m1a (2)
В проекциях на ось у1, направленную перпендикулярно наклонной плоскости, получим
N1 – m1gcosα = 0,
т.е. N1 = m1gcosα
Т.к. по третьему закону Ньютона
| | = | д | ,
где д - сила нормального давления первого груза на наклонную плоскость, то
= km1gcosα (3)
Подставив (3) в (2), получим
Т1 – kmgcosα – m1gsinα = m1a1 (4)
На второй груз действуют сила натяжения нити и сила тяжести . Поэтому по второму закону Ньютона
(5)
или в проекциях на ось х2 , направленную вверх вдоль нити
Т2 – m2g = - m2a2 (6)
т.к. по условию задачи массы грузов одинаковы
m1 = m2 = m , (7)
блок является невесомым, а нить – невесомой и нерастяжимой, то
| | = | | =T (8)
| | = | | = a (9)
Тогда с учетом (7-9) уравнения (4) и (6) будут выглядеть следующим образом:
Т- kmg cos -mgsin =ma (10)
Т-mg=-ma. (11)
Решив эту систему уравнений, получим
Т= mg (sin +kcos +1) (12)
Cо стороны нити на блок действует силы натяжения нити и