- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Архангельск
- •Рекомендации по решению задач контрольных работ
- •Основные теоретические сведения
- •Относительность движения. Система отсчета.
- •В декартовой системе координат такой радиус-вектор может быть представлен следующим образом:
- •Кинематика материальной точки
- •При постоянном угловом ускорении угловая скорость
- •Динамика поступательного движения
- •Первый закон Ньютона.
- •Второй закон Ньютона. Сила. Масса.
- •Замкнутые системы. Закон сохранения импульса.
- •Центр масс. Теорема о движении центра масс.
- •Работа и мощность в механике.
- •Кинетическая энергия материальной точки и механической системы
- •Консервативные и неконсервативные силы.
- •Потенциальная энергия
- •Закон сохранения механической энергии
- •Динамика вращательного движения твердого тела
- •Момент силы и момент импульса
- •Закон сохранения момента импульса
- •Момент инерции. Теорема Штейнера.
- •Моменты инерции некоторых однородных симметричных тел
- •Основное уравнение динамики вращательного движения
- •Кинетическая энергия и работа при вращательном движении абсолютно твердого тела
- •Работа при повороте твердого тела относительно произвольной неподвижной оси z на некоторый угол φ под действием внешних сил Мz
- •Примеры решения задач
- •Поэтому, учитывая, что
- •По третьему закону Ньютона
- •Проверим размерность
- •Произведем расчет
- •Варианты контрольной Работы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Рекомендуемая литература
- •Оглавление
Закон сохранения момента импульса
Если момент внешних сил , действующих на систему, равен нулю, то в такой системе момент импульса является величиной постоянной:
Для частного случая системы, состоящей из двух тел, имеющих до взаимодействия моменты импульсов и , а после взаимодействия – моменты и , соответственно, закон сохранения момента импульса записывается следующим образом:
Отметим также, что если момент внешних сил, действующих на систему, не равен нулю, но проекция этого момента на некоторое направление, например, на произвольную ось z равна нулю, то проекция момента импульса такой системы на это направление является величиной постоянной:
Момент инерции. Теорема Штейнера.
Во вращательном движении мерой инертности является физическая величина, называемая моментом инерции.
Различают моменты инерции материальной точки и тела.
Под моментом инерции материальной точки относительно произвольной оси z понимается произведение массы этой точки mi на квадрат ее расстояния ri до оси вращения:
Jzi = mi ri2 ,
а под моментом инерции тела относительно оси z – сумма моментов инерции материальных точек или частей, составляющих это тело:
Jz =
В случае непрерывного распределения масс в теле эта сумма сводится к интегралу
Jz = ,
где r – расстояние элементарной массы dm от оси вращения z.
Интегрирование здесь производится по всей массе тела.
Для расчета моментов инерции может использоваться теорема Штейнера:
момент
инерции тела относительно произвольной
оси z,
не проходящей через центр масс тела,
равен моменту инерции Jz0
этого тела относительно оси z0
, параллельной данной оси и проходящей
через центр масс тела (рис 9), плюс
произведение массы m
этого тела на квадрат расстояния d
между осями:
Jz
= Jz0
+ md2
Моменты инерции некоторых однородных симметричных тел
Моменты инерции относительно оси Z0, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости основания сплошного цилиндра (диска) радиусом R и массой m
Jz0 = mR2;
полого цилиндра массой m, внутренним радиусом R1 и внешним R2
Jz0 = ;
тонкостенного полого цилиндра (обруча) массой m радиусами R1 R2 R
Jz0 = mR2 .
Момент инерции шара массой m и радиусом R относительно оси Z0, проходящей через центр масс
Jz0 = mR2
Момент инерции тонкого стержня массой m и длиной относительно оси Z0, проходящей через центр масс стержня перпендикулярно его оси
Jz0 = m
Основное уравнение динамики вращательного движения
Производная по времени t проекции момента импульса тела или системы тел на произвольную ось Z равна проекции на эту ось моментов внешних сил , действующих на это тело или систему:
Учитывая, что
,
где - моменты инерции, а - угловые скорости материальных точек такой системы или тела относительно произвольной оси Z, получим
Последнее уравнение называется основным уравнением динамики вращательного движения.
В случае, если проекция на ось Z моментов внешних сил , действующих на тело или систему равна нулю, то
В частности, если система состоит только из двух тел
J1zω1z + ω2z = ,
где ω1z, - угловые скорости первого, а ω2z , - второго тела соответственно до и после взаимодействия; J1z , - момент инерции первого, а J2z , - второго тела до и после взаимодействия относительно оси z.
Рассмотрим абсолютно твердое тело, т.е. тело расстояние между двумя любыми точками которого остается неизменным в процессе движения.
В случае вращательного движения абсолютно твердого тела относительно неподвижной произвольной оси Z, все точки такого тела, за исключением точек, находящихся на оси вращения, будут иметь одинаковые скорости:
,
а момент инерции будет величиной постоянной:
.
Поэтому применительно к абсолютно твердому телу основное уравнение вращательного движения приобретает следующий вид
Обозначив
,
а
,
и учитывая, что
,
где , угловое ускорение твердого тела относительно оси Z, окончательно получим
.