2. Реализация эксперимента с помощью факторного исследования

Полным факторным экспериментом (ПФЭ) называется такой эксперимент, при реализации которого определяется значение параметра оптимизации при k всех возможных сочетаниях уровней варьирования факторов. Если мы имеем дело с факторами, .каждый; из которых может устанавливаться на q уровнях, то для того, чтобы осуществить полный факторный эксперимент необходимо поставить п = q^k опытов.

Планирование, проведение и обработка результатов ПФЭ состоит из следующих обязательных этапов: кодирование факторов; составление план-матрицы эксперимента; рандомизация опытов; реализация плана эксперимента; проверка воспроизводимости опытов; проверка адекватности линейной модели; оценка значимости коэффициентов регрессии.

Исходные данные:

Влага W^r(x = 0 -10 %; δ_i 3%); летучи V^daf (x = 0 – 14%; δ_i 5%); зола А^d (x = 0 – 6%; δ_i 0,5%).

№ п/п	Прочность по М₂₅			№ п/п	Прочность по М₁₀
№ п/п	1	2	3	№ п/п	1		2		3
1	64,2	66,4	65,1	1	5,9	5,8		6,0
2	83,0	84,4	83,8	2	4,5	4,5		4,6
3	70,0	71,0	70,4	3	5,0	4,9		5,1
4	85,1	86,2	85,8	4	3,9	3,8		4,0
5	58,8	59,3	58,7	5	6,3	6,2		6,3
6	79,4	78,3	79,2	6	4,5	4,7		4,5
7	63,1	62,8	63,0	7	5,0	4,9		4,7
8	83,2	82,7	83,0	8	4,8	4,6		4,9

Кодирование факторов необходимо для перевода натуральных факторов скорости в безразмерные величины, чтобы иметь возможность построить стандартную ортогональную план-матрццу эксперимента. Для перевода натуральных переменных в кодовые хі заполняют таблицу кодирования переменных на двух уровнях. В качестве нулевого уровня факторов обычно выбирают центр интервала, в котором предполагается вести эксперимент. В промышленных условиях нулевой уровень соответствует значениям факторов при существующем технологическом режиме.

Кодирование факторов.

Интервал варьирования уровень факторов	Влажность угля W^r,%	Выход летучих V^daf, %	Зольность угля A^d, %
Нулевой уровень х_{і = 0}	5	7	3
Интервал варьирования δ_і	3	5	0,5
Нижний уровень х_і = -1	2	2	2,5
Верхний уровень х_і = +1	8	12	3,5
Кодовое обозначение	х₁	х₂	х₃

При выборе интервала варьирования дело обстоит несколько сложнее. Часто, особенно при оптимизации процесса, вначале целесообразно описать его линейным уравнением, и поэтому интервал варьирования должен быть достаточно мал для получения линейного уравнения, но вместе с тем достаточно велик, чтобы не получить ошибочного вывода о незначимом влиянии какого-либо из факторов.

Связь между кодовым и натуральным выражением фактора задается формулой:

(1)

где Х_і — натуральное значение фактора; х_і0 — значение і-го фактора на нулевом уровне; δ — интервал варьирования і-го фактора.

Составление план-матрицы эксперимента осуществляется следующим образом: например, для х₁ уровни чередуются в каждом опыте, для х₂ — через два опыта, для х₃ — через четыре и т. д.

План эксперимента называют ортогональным планом первого порядка. Основным преимуществом такого плана является раздельная (независимая) оценка коэффициентов регрессии.

План матрица ПФЭ

опыт	х₁	х₂	х₃
1	-1	-1	-1
2	+1	-1	-1
3	-1	+1	-1
4	+1	+1	-1
5	-1	-1	+1
6	+1	-1	+1
7	-1	+1	+1
8	+1	+1	+1

Рандомизация опытов. Естественно, что на процесс оказывают влияние не только х_1,х₂ и х₃, но еще ряд факторов, которые могут быть вообще неизвестны исследователю. Для того, чтобы внести элемент случайности влияния этих факторов на результат эксперимента, а это необходимо для обоснованного использования математической статистики, устанавливается случайный порядок постановки опытов во времени. Эта процедура и называется рандомизацией. Для ее осуществления пользуются таблицами случайных чисел, извлечением номеров из урны и т. п.

В нашем случае получили такую послёдовательность проведения опытов: 1,5,2,6,4,8,3,7,1,3,2,4,1,2,3,4,5,7,6,8,7,8,5,6. В этой последовательности каждое сочетание уровней (номера опытов) встречается трижды. Параллельные опыты предусматриваются для оценки воспроизводимости процесса и проведения статистических оценок.

Реализация плана эксперимент. План эксперимента представляет собой расширенную матрицу, так как введен столбец х₁х₂х₃, позволяющий оценить, коэффициент регрессии при взаимодействии факторов.

Условия и результаты опытов

По прочности M₂₅

опыт	х₁	х₂	х₃	х₁х₂	х₁х₃	х₂х₃	х₁х₂х₃	y_u1	y_u2	y_u3
1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	64,2	66,4	65,1	65,23
2	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	83,0	84,4	83,8	83,73
3	-1	+1	-1	-1	+1	-1	+1	70,0	71,0	70,4	70,46
4	+1	+1	-1	+1	-1	-1	-1	85,1	86,2	85,8	85,70
5	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	58,8	59,3	58,7	58,93
6	+1	-1	+1	-1	+1	-1	-1	79,4	78,3	79,2	78,96
7	-1	+1	+1	-1	-1	+1	-1	63,1	62,8	63,0	62,96
8	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	83,2	82,7	83,0	82,96

По прочности M₁₀

опыт	х₁	х₂	х₃	х₁х₂	х₁х₃	х₂х₃	х₁х₂х₃	y_u1	y_u2	y_u3
1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	5,9	5,8	6,0	5,90
2	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	4,5	4,5	4,6	4,53
3	-1	+1	-1	-1	+1	-1	+1	5,0	4,9	5,1	5,00
4	+1	+1	-1	+1	-1	-1	-1	3,9	3,8	4,0	3,90
5	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	6,3	6,2	6,3	6,26
6	+1	-1	+1	-1	+1	-1	-1	4,5	4,7	4,5	4,56
7	-1	+1	+1	-1	-1	+1	-1	5,0	4,9	4,7	4,86
8	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	4,8	4,6	4,9	4,76

Проверка воспроизводимости опытов. При одинаковом числе параллельных опытов на каждом сочетании уровней факторов воспроизводимость процесса проверяется по критерию Кохрена:

(2)

где -- дисперсия, характеризующая рассеяние результатов опытов на u-м сочетании уровней факторов; p — 1,2,... ..,, m —число параллельных опытов; — наибольшая из дисперсий в строчках плана; - табличное значение критерия Кохрена при 5%-ном уровне значимости; f_n = n — число независимых оценок дисперсии; f_u = m —1 — число степеней свободы каждой оценки.