6. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы

Теорема 1. Если во всех точках открытого промежутка X вы­полняется неравенство (причем равенство либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек), то функция возрастает на промежутке X.

Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство (причем равенство либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном мно­жестве точек), то функция убывает на промежутке X.

Теорема 3 (достаточные условия экстремума). Пусть функ­ция непрерывна на промежутке X и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку . Тогда:

а) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при выполняется неравенство , а при — неравенство , то — точка минимума функции ;

б) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при выполняется неравенство , а при — не­равенство , то — точка максимума функции ;

в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева и справа от точки знаки производной одинаковы, то в точке экстремума нет.

6.1)  Из предложенных вариантов ответов выберите промежутки (промежуток), на которых функция, график которой изображен на рисунке, убывает.

1)

2)

3)

4)

6.2) Из предложенных вариантов ответов выберите промежутки (промежуток), на которых функция, график которой изображен на рисунке, возрастает.

1)
2)
3)
4)

6.3)  Из предложенных вариантов ответов выберите промежутки (промежуток), на которых функция, график которой изображен на рисунке, убывает.

1)
2)
3)
4)

6.4)   Из предложенных вариантов ответов выберите промежутки (промежуток), на которых функция, график которой изображен на рисунке, убывает.

1)
2)
3)
4)

6.5)  Из предложенных вариантов ответов выберите промежутки (промежуток), на которых функция, график которой изображен на рисунке, убывает.

1)
2)
3)
4)

6.6)  Из предложенных вариантов ответов выберите промежутки (промежуток), на которых функция, график которой изображен на рисунке, возрастает.

1)
2)
3)
4)

6.7)  Из предложенных вариантов ответов выберите промежутки (промежуток), на которых функция, график которой изображен на рисунке, убывает.

1)
2)
3)
4)

6.8)  Из предложенных вариантов ответов выберите промежутки (промежуток), на которых функция, график которой изображен на рисунке, возрастает.

1)
2)
3)
4)

6.9) Определите, какой знак имеет производная функции в точке с абсциссой а, если график функ­ции изображен на рисунке:

6.10) Определите, какой знак имеет производная функции в точке с абсциссой b, если график функ­ции изображен на рисунке:

6.11) Определите, какой знак имеет производная функции в точке с абсциссой с, если график функ­ции изображен на рисунке:

6.12) Определите, какой знак имеет производная функции в точке с абсциссой d, если график функ­ции изображен на рисунке:

6.13) Определите, какой знак имеет производная функции в точке с абсциссой а, если график функ­ции изображен на рисунке:

6.14) Определите, какой знак имеет производная функции в точке с абсциссой b, если график функ­ции изображен на рисунке:

6.15) Определите, какой знак имеет производная функции в точке с абсциссой с, если график функ­ции изображен на рисунке:

6.16) Определите, какой знак имеет производная функции в точке с абсциссой d, если график функ­ции изображен на рисунке:

6.17) Определите промежуток (промежутки) возрастания функции, график которой изображен на рисунке:

6.18) Определите промежуток (промежутки) убывания функции, график которой изображен на рисунке:

6.19) Определите промежуток (промежутки) возрастания функции, график которой изображен на рисунке:

6.20) Определите промежуток (промежутки) убывания функции, график которой изображен на рисунке:

6.21) По графику производной, изображенному на рисунке, определите, на каких промежутках функция воз­растает, а на каких — убывает:

6.22) По графику производной, изображенному на рисунке, определите, на каких промежутках функция воз­растает, а на каких — убывает:

6.23) По графику производной, изображенному на рисунке, определите, на каких промежутках функция воз­растает, а на каких — убывает:

6.24) По графику производной, изображенному на рисунке, определите, на каких промежутках функция воз­растает, а на каких — убывает:

6.25) На каком из указанных промежутков функция убывает, если график ее производной представлен на рисунке:

а) ; б) ; в) ; г) ?

6.26) Определите, для какой из функций, , отрезок является промежутком возраста­ния, если на рисунках изображены графики про­изводных этих функций.

6.27) На рисунках изображены графики производных функций , , . Определите, какая из функций , , возрастает на R

6.28) На рисунках изображены графики производных функций , , . Определите, какая из функций , , убывает на R

Определите промежутки монотонности функции:

6.29)

6.30)

6.31)

_6.32)

6.33) ;

6.34) ;

6.35) ;

6.36)

Исследуйте функцию на монотонность:

6.37) ;

6.38) ;

6.39) ;

6.40)

6.41) ;

6.42) ;

6.43) ;

6.44)

6.45) ;

6.46) ;

6.47) ;

6.48)

6.49) По графику функции , изображенному на задан-

ном рисунке, определите точки, в которых ее производ­ная обращается в 0:

6.50) По графику функции , изображенному на задан-

ном рисунке, определите точки, в которых ее производ­ная обращается в 0:

6.51) По графику функции , изображенному на задан-

ном рисунке, определите точки, в которых ее производ­ная обращается в 0:

6.52) По графику функции , изображенному на задан-

ном рисунке, определите точки, в которых ее производ­ная обращается в 0:

6.53) По графику функции , изображенному на рисунке, определите точки, в которых не существует:

6.54) По графику функции , изображенному на рисунке, определите точки, в которых не существует:

6.55) По графику функции , изображенному на рисунке, определите точки, в которых не существует:

6.56) По графику функции , изображенному на рисунке, определите точки, в которых не существует:

6.57) Сколько точек минимума имеет функция , график которой изображен на рисунке:

6.58) Сколько точек минимума имеет функция , график которой изображен на рисунке:

6.59) Сколько точек минимума имеет функция , график которой изображен на рисунке:

6.60) Сколько точек минимума имеет функция , график которой изображен на рисунке:

6.61) Сколько точек максимума имеет функция , гра­фик которой изображен на рисунке:

6.62) Сколько точек максимума имеет функция , гра­фик которой изображен на рисунке:

6.63) Сколько точек максимума имеет функция , гра­фик которой изображен на рисунке:

6.64) Сколько точек максимума имеет функция , гра­фик которой изображен на рисунке:

6.65) Используя данные о производной , приведенные в таблице, укажите промежутки возрастания функции

6.66) Используя данные о производной , приведенные в таблице, укажите промежутки убывания функции ;

6.67) Используя данные о производной , приведенные в таблице, укажите точки максимума функции ;

6.68) Используя данные о производной , приведенные в таблице, укажите точки минимума функции

6.69) По графику производной, изображенному на рисунке, определите, имеет ли функция точки экстремума:

6.70) По графику производной, изображенному на рисунке, определите, имеет ли функция точки экстремума:

6.71) По графику производной, изображенному на рисунке, определите, имеет ли функция точки экстремума:

6.72) По графику производной, изображенному на рисунке, определите, имеет ли функция точки экстремума:

Найдите точки экстремума заданной функции и опреде­лите их характер:

6.73) ;

6.74) ;

6.75) ;

6.76)

6.77) ;

6.78) ;

6.79) ;

6.80)

6.81) ;

6.82)

6.83)

6.84)

6.85) ;

6.86) ;

6.87) ;

6.88)

6.89) ;

6.90) .

6.91) ;

6.92)

6.93) ;

6.94)

Ответы

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13	f(a) < 0
14	f(b) > 0
15	f(c) = 0
16	f(d) > 0
17
18
19
20
21
22
23
24
25	в)
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57	1
58	1
59	1
60	2
61	2
62	1
63	2
64	2
65
66
67
68
69
70
71
72
73	x = –2 точка минимума x = 2 точка максимума
74	точка максимума точки минимума
75	точка максимума точка минимума
76	точка максимума точки минимума
77	х = -2 — точка максимума, х = 2 — точка минимума
78	точек экстермума нет, функция возрастает на ;
79	х = -5 — точка максимума, х = 5 — точка минимума
80	х = 3 — точка минимума
81	х = 2 — точка максимума, х = 3 — точка ми­нимума
82	х = -3 — точка максимума, х = 3 — точка минимума; в
83	—точка максимума, х = 5 — точка минимума
84	х = 7 — точка максимума, х = 0 — точка минимума
85	х = 0,6 — точка максимума, х = -0,6 — точка минимума
86	х = -1, х = 4 — точки минимума, х = 0 — точка максимума
87	х = -5, х = 5 — точки минимума, х = 0 — точка максимума
88	х = -3 — точка максимума, х = 1 — точка миниму­ма.
89	х = -2 — точка максимума, х - 2 — точка минимума
90	х = -3 — точка максимума, х = 3 — точка минимума
91	х = 3 — точка минимума
92	х = 8,5 — точка максимума
93	— точка минимума, — точка максимума
94	— точка минимума, — точка максимума