Задание 3
Вычислить неопределенный интеграл |
||||
3.1. |
|
|
3.6. |
|
3.2. |
|
|
3.7. |
|
3.3. |
|
|
3.8. |
|
3.4. |
|
|
3.9. |
|
3.5. |
|
|
3.10. |
|
Интегрирование рациональной функции после выделения целой части сводится к интегрированию правильной рациональной дроби
где и - целые многочлены, причем степень числителя ниже степени знаменателя . Если
где - различные действительные корни многочлена ; - натуральные числа (кратности корней), то справедливо разложение дроби на простейшие дроби:
Для вычисления неопределенных коэффициентов обе части тождества приводят к целому виду, а затем приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях переменной . Можно также определять эти коэффициенты, полагая в тождестве равным подходяще подобранным числам.
Пример 3. Вычислить неопределенный интеграл
Решение
Применим метод неопределенных коэффициентов. Так как подынтегральная функция есть правильная рациональная дробь (степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе), то приступим сразу к нахождению неопределенных коэффициентов. Для этого представим подынтегральную функцию в виде
Приведем выражение в правой части к общему знаменателю
Из равенства дробей следует равенство многочленов
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему для определения неизвестных и :
;
;
;
;
,
решая которую, находим
Теперь мы можем представить подынтегральную функцию в виде суммы правильных рациональных дробей:
Следовательно:
. Первые четыре интеграла сводятся к табличным
Для нахождения последнего интеграла воспользуемся рекуррентной формулой:
если , то
При интеграл - табличный. Тогда
Ответ:
Задание 4
-
Вычислить неопределенный интеграл
4.1.
4.6.
4.2.
4.7.
4.3.
4.8.
4.4.
4.9.
4.5.
4.10.
Пример 4. Вычислить неопределенные интегралы:
a) б) в)
Решение
а) . Обозначим
Отсюда . Тогда интеграл примет вид
Ответ: ;
б) в данном интеграле сделаем подстановку Отсюда при этом Исходный интеграл примет вид
Разложим подынтегральную функцию в виде . Коэффициенты и найдем, используя метод неопределенных коэффициентов (см. пример 3):
Таким образом:
где
Ответ: где ;
в) перепишем данный интеграл в виде
В общем случае интеграл
(где и - рациональные числа) называется интегралом от дифференциального бинома, который может быть приведен к интегрированию рациональных функций в трех случаях:
Пусть - целое. Полагаем где - общий знаменатель дробей и
Пусть - целое. Полагаем где - знаменатель дроби
Пусть – целое. Применяем подстановку где - знаменатель дроби
В нашем случае Так как - целое, то используем подстановку для II случая: Тогда и
Исходный интеграл примет вид
где
Ответ: где
-
Задание 5
Вычислить неопределенный интеграл
5.1.
5.6.
5.2.
5.7.
5.3.
5.8.
5.4.
5.9.
5.5.
5.10.
Интегралы вида , где в общем случае – рациональная функция, приводятся к интегрированию рациональных функций с помощью универсальной подстановки , при этом , , , . Эта подстановка ведет иногда к сложным выкладкам. В некоторых случаях подынтегральная функция приводится к рациональной дроби более простым способом:
Если то применяется подстановка
Если то применяется подстановка
Если то применяется подстановка
Пример 5. Найти интеграл .
Решение
Так как
то, полагая , имеем
Ответ: