Часть I. Неопределенный интеграл
Функция называется первообразной для функции на интервале , если , , или, что то же самое, служит дифференциалом для : . Множество всех первообразных для данной функции на промежутке называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается . Если есть первообразная на , то , где - некоторая постоянная.
Основные свойства неопределенного интеграла.
;
;
.
Таблица простейших интегралов
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. В табличном интеграле считаем, что
Правила вычисления неопределенных интегралов.
Если , то
Если и функция непрерывно дифференцируема, то
В частности,
Задание 1
Вычислить неопределенный интеграл |
||||
1.1. |
|
|
1.6. |
|
1.2. |
|
|
1.7. |
|
1.3. |
|
|
1.8. |
|
1.4. |
|
|
1.9. |
|
1.5. |
|
|
1.10. |
|
Пример 1. Вычислить неопределенные интегралы
а) ; б) .
Решение
а) чтобы выполнить задание, можно под знаком интеграла выражение в скобках возвести в степень 33 и взять интеграл как линейную комбинацию интегралов от степенных функций. Чтобы избежать громоздких выкладок, применим интегрирование путем подведения под дифференциал
Ответ: .
б) найдем интеграл, используя метод подстановки. Положим , отсюда Следовательно:
Ответ:
Замечание. Отметим часто применяемые преобразования дифференциалов:
Задание 2
Вычислить неопределенный интеграл |
||||
2.1. |
|
|
2.6. |
|
2.2. |
|
|
2.7. |
|
2.3. |
|
|
2.8. |
|
2.4. |
|
|
2.9. |
|
2.5. |
|
|
2.10. |
|
Пример 2. Вычислить неопределенный интеграл
Решение
Для того чтобы данный интеграл свести к табличному, применим метод интегрирования по частям: если и - дифференцируемые функции, то справедлива формула (формула интегрирования по частям):
Примем , а . Тогда Исходный интеграл примет вид
Ответ:
Замечание 1. Суть применения этого метода интегрирования состоит в том, что интеграл может быть «проще» интеграла . Этот метод удобен тогда, когда под интегралом стоит произведение «разнородных» функций, например, и , и , и , и и т. п.
Замечание 2. В качестве целесообразно брать такие функции, как: . Если таковых нет в подынтегральном выражении, то за обозначают .