Тема: Повторение независимых испытаний Формула Бернулли
Пусть эксперимент состоит в проведении некоторого опыта, о котором можно предположить, что или добились успеха или нет. Т.е. эксперимент с двумя исходами: А и , которые называются «успехом» и «неуспехом» соответственно.
Пусть , .
Проведем п идентичных испытаний (независимых друг от друга). Построенная схема испытаний называется схемой Бернулли.
Ставится вопрос: Какова вероятность того, что раз добьемся успеха? Обозначим искомую вероятность .
Определение. Схемой Бернулли называется последовательность независимых (идентичных) испытаний с двумя исходами, имеющими неизменные вероятности (в каждом из испытаний).
Вероятность в схеме Бернулли вычисляется по формуле
. (1)
Формула (1) называется формулой Бернулли.
Отметим, что вероятность равна коэффициенту при в разложении бинома по степеням х. В силу этого свойства совокупность вероятностей называется биномиальным законом распределения вероятностей.
Пример: В помещении 6 электролампочек. Вероятность того, что каждая лампочка останется исправной в течение года, равна 0,7. Найти вероятность того, что в течение года придется заменить 2 лампочки.
Решение: А = «лампочка неисправна»
n = 6, m = 2, р =1 – 0,7 = 0,3; q = 0,7; p + q = 1,
.
Ответ. 0,3241.
Если требуется найти вероятность того, что число появления события А окажется в пределах от т1 до т2 (интервальная вероятность), обозначается или , то тогда в силу несовместимости событий
.
«Не менее m раз» .
«Хотя бы 1 раз» .
Т.к. все возможные несовместимые между собой исходы испытаний состоят в появлении события А 0 раз, 1 раз, …, n раз, то .
Наивероятнейшее число появления события а в схеме Бернулли
Вероятность с увеличением m сначала возрастает, затем достигает максимума и при дальнейшем росте m убывает.
Используя неравенства , и формулу Бернулли, получаем:
– наивероятнейшее число появления события А в схеме Бернулли.
Границы отличаются на единицу, так как .
Пример: Если , то , если , то .
Теоремы Пуассона и Муавра – Лапласа
При больших значениях n и m вычисление по формуле Бернулли превращается в технически сложную задачу, следовательно, возникла потребность в асимптотических формулах как для , так и для .
Локальная теорема Муавра-Лапласа
При больших m и n в схеме Бернулли имеет место следующая формула
, где .
Рис.1. График функции .
Для функции есть таблицы значений для x[0;4], при . Функция четная, т. е. .
Чем больше разница между ожидаемым m и средним np, тем меньше вероятность.
Пример: Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,2. Приборы испытываются независимо друг от друга. Найти вероятность отказа 15 приборов при испытании 120 приборов.
Решение: А = «прибор отказал»
п =120; т = 15; р = 0,2; q = 1 – 0,2 = 0,8.
Ответ. 0,01.
Интегральная теорема Муавра-Лапласа
При больших n, m1, m2 в схеме Бернулли
, где .
Рис.2. График функции .
Функция – нормированная функция Лапласа.
– нечетная, т.е. , значения функции имеются в таблицах. При .
Пример: Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,2. Приборы испытываются независимо друг от друга. Найти вероятность отказа от 10 до 25 приборов при испытании 100 приборов.
Решение: А = «прибор отказал»
п =100; ; ; р = 0,2; q = 1 – 0,2 = 0,8.
Ответ. 0,8882.
В задачах часто будет интересовать интервал, симметричный относительно np.
.
Рассмотрим частоту появления события и пусть интервал значений появления события в схеме Бернулли симметричен относительно np. Тогда
, где .