12

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Методические указания к циклу лабораторных работ.

Иркутск 2002

Истинные законы не могут

быть линейными.

А.Эйнштейн.

Большинство явлений нашего мира нелинейны. Нелинейность – неотъемлемое свойство всякой эволюционирующей во времени системы.

Всякий переход из одного квазиравновесного состояния в другое связан с появлением нелинейности. Это – возникновение и эволюция Вселенной; рождение, жизнь и смерть звезд; слияние и распад частиц, их возникновение из вакуума; самопроизвольное образование сложных структур, приведшее к возникновению органической жизни.

К числу нелинейных наук относятся разные разделы физики (радиофизика, физика элементарных частиц, физика твердого тела, физика плазмы и др.), химия, биология, экология, экономика.

Первой из наук с нелинейностью столкнулась небесная механика. В первые десятилетия XX в. начали обсуждаться нелинейные проблемы в механике, акустике, в физике твердого тела. Нелинейные задачи ставили зарождающаяся радиотехника (детектирование, генерация и др., преобразования сигнала), теория автоматического регулирования, ряд отраслей машиностроения.

Лишь в 30-е годы XX в. благодаря деятельности Л.И.Мандельштама среди специалистов различных областей начало вырабатываться нелинейное мышление. Появился нелинейный язык, оперирующий такими понятиями как нелинейный резонанс, синхронизация, параметрическое взаимодействие.

Теория волн еще в 50-е годы занималась линейными задачами. Интенсивные исследования нелинейных волн началось в 60-е годы.

Нелинейные колебательные системы (системы с параметрами, зависящими от ее состояния) описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Аналитические решения этих уравнений в явной форме чаще всего получить нельзя. Для исследования таких систем применяют приближенные методы: качественные и количественные (метод фазовой плоскости, метод возмущений, метод медленно меняющихся амплитуд, метод последовательных приближений и т.д.). Математическое численное моделирование нелинейных систем также является эффективным инструментом исследования.

Цикл лабораторных заданий предназначен для более гибкого изучения нелинейных колебаний разного класса. Для реализации поставленных задач используется программа Modellus.

При решении уравнений второго порядка программа требует их представления в виде системы двух уравнений первого порядка. Например, уравнение

должно быть записано

, .

В окне модели эти уравнения записываются так

,

.

Для всех изучаемых видов движения необходимо кроме решения получить фазовые портреты. В протоколах лабораторных работ должны быть зафиксированы значения начальных условий, параметров системы.

1. Задания

Задание 1. Исследование собственных колебаний в линейной диссипативной системе

а) Получить и проанализировать все возможные виды движений в системе, задав соответствующим образом параметры системы и начальные условия.

б) Для затухающего колебательного процесса оценить влияние потерь энергии на собственную частоту (период колебаний). рассмотреть случаи медленного, быстрого затухания. На сколько будет отличаться частота рассматриваемых колебаний от собственной частоты системы без потерь энергии?

в) Для достаточно большой диссипации энергии в системе ( ) исследовать все виды асимптотических (апериодических) движений. Проанализировать влияние величины и знака начальных условий на характер протекания процесса.

г) Исследуется линейная диссипативная система – полный колебательный контур RCL. Получить для затухающих колебаний зависимость полной энергии в системе от времени. Рассмотреть варианты малого затухания ( ), большого затухания ( ).

Задание 2. Решить уравнение, описывающее движение математического маятника, на который действует только сила тяжести, при произвольном угле отклонения. Получить все виды движений и полный фазовый портрет.

Задание 3. Исследование нелинейного консервативного колебательного контура.

1. В консервативном колебательном контуре в качестве емкости используется вариконд, емкость которого определяется выражением .

Получить решение колебательного уравнения q(t). Исследовать влияние на изменение характера колебательного процесса:

1) степени нелинейности γ=0.1; 1; 10. 2) начальных условий и параметров системы.

Получить фазовые портреты всех решений. Сравнить с линейным случаем. Сделать вывод об отличии нелинейного контура от линейного. Получить уравнение фазовых траекторий данного контура аналитически.

2. Оставив параметры контура неизменными, изменяя лишь амплитуду колебаний (7 вариантов), установить, как изменяется период колебаний (частота колебаний). Получить частоту неизохронных колебаний методом гармонического баланса. Сравнить с результатами численного моделирования.

Задание 4. Колебательная система с нелинейным трением.

Изучается система, колебания в которой описываются уравнением

.

Решить уравнение для случаев: а) вязкого трения; б) сухого (кулоновского) трения; в) квадратичного трения.

Получить фазовые портреты.

Проанализировать: а) характер движения в рассматриваемых случаях и установить отличие от линейного варианта; б) в каком случае логарифмический декремент затухания является переменной величиной и в зависимости от чего меняется эта характеристика.

Задание 5. Электрический контур с нелинейным затуханием.

Исследуются колебания в контуре с постоянными L и C, но с сопротивлением . Составить колебательное уравнение, описывающее изменение заряда. Получить решение и соответствующие фазовые портреты для . Установить и пояснить отличие от линейного случая.

Задание 6. Исследуется нелинейная консервативная система вида .

1. Получить решение этого уравнения и фазовые портреты для возвращающей силы вида для случаев γ>0, γ<0 (γ=0.1; γ=1; γ=10). Определить, в чем отличие от линейного случая. Получить фазовые портреты.

2. Не изменяя параметры системы, для разных начальных условий (10 вариантов) проанализировать изменение периода колебаний (частоты свободных колебаний) от амплитуды (для γ>0, γ<0).

Задание 7. Получить решение уравнения математического маятника с произвольным углом отклонения, находящегося в вязкой среде, для всех возможных видов движения в такой системе. Построить полный фазовый портрет.

Задание 8. Решить уравнение, описывающее автоколебательную систему

1. Получить все возможные формы автоколебаний.

2. Установить, чем определяется амплитуда установившихся автоколебаний.

Задание 9. Исследовать нелинейный осциллятор с вязким трением под действием периодической силы

Задание 10. Исследуется автоколебательная система с жестким режимом возбуждения

При изменении параметра М возможна буферизация типа: рождение пары предельных циклов из сгущения фазовых траекторий. Получить данную бифуркации.

Задание 11. В неавтономном осцилляторе Ван-дер-Поля с нелинейной возвращающей силой, уравнение которого имеет вид

возможно возникновение хаоса. Определить параметры и получить периодические, квазипериодические и хаотические колебания. На фазовом портрете пронаблюдать появление странного аттрактора.