7.2.4. Задачи
Найти все значения параметра , при которых положительно определены квадратичная формы:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
Пусть Х – множество непрерывных на
интервале
функций. Зададим на множестве Х билинейную
форму
.
Показать,
что
положительно определена. Построить
матрицу Грама системы функций
и доказать их линейную независимость.
6.
Доказать, что определитель матрицы
Грама системы векторов
не
изменится, если какой-либо вектор системы
заменить перпендикуляром, опущенным
из этого вектора на линейную оболочку
любых других векторов системы.
Выяснить, что в следующих парах квадратичных форм одна форма положительно определена и привести их одновременно к каноническому виду, не определяя канонический базис:
7.
,
.
8.
,
.
9.
,
.
7.3 Поверхности второго порядка
Определение.
Поверхностью второго порядка в
пространстве
называется геометрическое место точек,
координаты
которых относительно ортонормированного
базиса удовлетворяют уравнению
,
где
- вещественные числа.
Исследование
уравнения поверхности основано на
приведении его к каноническому виду с
помощью невырожденных преобразований
координат. Обозначим
,
,
.
Тогда уравнение поверхности примет вид
.
С
помощью некоторого ортогонального
преобразования квадратичную форму
можно привести к каноническому виду
,
где
- собственные значения матрицы А,
- координаты вектора
в ортонормированном базисе из собственных
векторов матрицы А. В новых переменных
уравнение поверхности примет вид
,
где
- новые координаты вектора
.
Совершая далее параллельный перенос
начала координат (если это необходимо),
получим каноническое уравнение
поверхности.
Пример. Определить вид поверхности, заданной в некотором ортонормированном базисе уравнением
.
В нашем примере
.
Приведем
квадратичную форму
к каноническому виду. Для определения
канонических коэффициентов составим
и решим характеристическое уравнение
,
откуда
.
Найдем
теперь канонический базис. При
координаты собственных векторов матрицы
А определяются системой
нормированное решение которой, например, вектор
.
При
из системы
находим еще два ортонормированных базисных вектора
,
.
Определим
новые координаты векторов
в построенном базисе следующими
соотношениями:
Уравнение поверхности в новом базисе примет вид
.
Перенесем начало координат, сделав замену переменных
,
и получим каноническое уравнение данной поверхности:
уравнение двуполостного гиперболоида.
7.3.1. Задачи
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Литература
1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. – М.: «Наука»,1974. – 400 с.
2. Ефимов Н.В., Розендрон Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. – М.: «Наука», 1974. – 250 с.
3. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: «Наука», 1970. – 355 с.
Содержание
1. Линейные операторы. Матрица линейного оператора 3
1.1. Определение оператора. Действия с операторами 3
1.2. Матрица линейного оператора 4
1.3. Задачи 7
2. Образ и ядро линейного оператора 9
2.1. Задачи 10
3. Собственные векторы и собственные значения
линейного оператора 10
3.1. Оператор простой структуры. Диагонализация
матрицы оператора 12
3.2. Задачи 14
4. Инвариантные подпространства 15
4.1. Задачи 17
5. Каноническая форма Жордана 18
5.1. Задачи 21
6. Линейные операторы в евклидовых и унитарных
пространствах 21
6.1. Нормальный оператор 21
6.2. Приведение матрицы нормального оператора
к диагональному виду 23
6.3. Полярное разложение оператора 25
6.4. Задачи 28
7. Билинейные и квадратичные формы 29
7.1. Приведение квадратичной формы к
каноническому виду 30
7.1.1. Метод Лагранжа 31
7.1.2. Метод Якоби 33
7.1.3. Приведение квадратичной формы к
каноническому виду в ортонормированном
базисе 34
7.1.4. Задачи 36
7.2. Знакоопределенные квадратичные формы 37
7.2.1. Матрица Грама 38
7.2.2. Критерий Сильвестра 39
7.2.3. Одновременное приведение двух
квадратичных форм к каноническому виду 40
7.2.4. Задачи 41
7.3. Поверхности второго порядка 42
7.3.1. Задачи 44
Литература 44