5.2. Параметры воздушной ударной волны (вув)

В инженерной практике наибольший интерес представляет определение следующих параметров:

1 – давление воздуха на фронте ВУВ, Р₁;

2 – скорость движения фронта ВУВ, Д;

3 – скорость движения воздуха за фронтом ВУВ, ω;

4 – плотность воздуха на фронте ВУВ, ρ₁;

5 – температура воздуха на фронте ВУВ, Т₁.

Параметры среды в невозмущенном воздухе перед фронтом ВУВ:

1 – давление воздуха Р₀ = 101 325 Па;

2 – скорость звука α₀ = 340 м/с;

3 – скорость невозмущенного потока ω₀ = 0 м/с;

4 – плотность воздуха ρ₀ = 1,225 кг/м³;

5 – температура воздуха Т₀ = 288 К.

Для определения параметров ВУВ следовало бы составить систему из 5 уравнений, однако задача существенно упрощается, если одну из искомых величин считать известной, например, определить ее значение экспериментально, а все остальные величины выразить через нее.

Из параметров ВУВ удобнее всего при современной технике определить давление Р₁ или избыточное давление ΔР₁.

Для определения давления вблизи центра взрыва могут быть приняты следующие допущения:

1 – процесс взрыва адиабатический;

2 – продукты детонации расширяются в полой сфере, толщина которой равна длине ВУВ (λ) – толщина зоны сжатия;

3 – длина ВУВ λ – постоянна.

λ

λ

Рис. 5.7. Схема расширения ПВ

В этом случае с учетом обозначений рис. 5.7 можно записать:

, (5.1)

где V₀ = 4πr₀²λ; V = 4πR²λ.

Подставив данные значения получим:

(5.2)

отсюда Р₁ = ,

где Р₁ – давление на фронте ВУВ на расстоянии R от центра взрыва, Па; Р_ВЗР – давление ПВ к началу их расширения, Па; К – показатель адиабаты (к = 1,3 вместо 1,4 в обычных условиях).

Результаты расчета давлений на фронте УВ по формуле (5.2) хорошо согласуются с опытными данными на расстоянии до 12r₀ (R ≤ 12r₀). При R > 12r₀ можно рекомендовать экспериментальную формулу

, Па,

где Р_1Т – давление на фронте ВУВ для тротила; Р₀ = 101325 Па; m – масса заряда ВВ, кг; R – расстояние от центра взрыва до УВ, м.

При необходимости определения Р₁ для других ВВ необходимо ввести поправку:

,

где Q_Т – теплота взрыва тротила; Q – теплота взрыва заданного ВВ.

Формула принимает вид:

, Па. (5.3)

В табл. 5.4 приведены результаты эксперимента М.А. Садовского и значения давлений, вычисленных по формуле 5.3.

Таблица 5.4

Давление воздуха на фронте УВ вблизи центра взрыва

Масса заряда ВВ, m, кг	Приведенный радиус заряда r0, м	Расстояние от центра взрыва R, м	Отношение R/ r0	Давление
				замер	расчет
				Р1 · 105 Па (кг/см2)
1	0,053	0,75	14,2	285(282)	222(220)
		4,0	75,3	10,1(10)	11,1(11)
25	0,153	1,7	11,0	444(440)	439(435)
130	0,267	5,8	21,7	111(110)	86(85)
250	0,332	8,3	25	74(73)	64(63)

На основе обработки результатов экспериментальных исследований по подрыву массы больше 100 кг Садовским М.А. получена формула для расчета избыточного давления:

, Па. (5.4)

Если взрыв произошел не в воздухе, а на поверхности земли, то волна распространяется не в полной сфере, а только в полусфере, в результате этого объем воздуха, занимаемый УВ, уменьшается вдвое. В этом случае происходит такое усилие УВ, которое соответствует удвоенной массе заряда, поэтому формула Садовского М.А. принимает вид:

, Па. (5.5)

Формулы 5.4 и 5.5 справедливы для тротила. При необходимости определения ΔР₁ для других ВВ можно воспользоваться формулой

.

Величины теплоты взрыва тротила Q_T, кДж/кг:

• при плотности заряда ρ = 1500 кг/м³, Q_T = 4232;

• при плотности заряда ρ = 850 кг/м³, Q_T = 3394.

Для определения других параметров ВУВ применяется система из 4-х уравнений:

Д ·ρ₀ = (Д – ω)ρ₁ – закон сохранения массы вещества при сжатии;

ρ₁ – ρ₀ = Д ·ρ₀ ω – закон сохранения количества движения при сжатии;

– закон сохранения энергии при сжатии;

ε₁ и ε₀ – конечная и начальная удельная внутренняя энергия единицы массы сжатого газа;

– закон (уравнение) состояние сжимаемого волной вещества.

Докажем справедливость приведенных уравнений, для чего воспользуемся наиболее простым методом вывода основных соотношений, примененных отечественными учеными Я.Б. Зельдовичем и А.С. Компанейцем.

На рис. 5.8 приведена пояснительная схема к выводу основных уравнений гидродинамической теории.

Предположим, что в трубе сечением S, заполненной газом, движется поршень с постоянной скоростью. Под действием поршня в газе возникает УВ – область сжатия, распространяющаяся в невозмущенный газ.

На переднем фронте УВ происходит скачкообразное изменение давления, плотности и температуры газа. Сжатый поршнем газ будет двигаться со скоростью поршня, т.е. со скоростью ω; фронт ударной волны (передняя граница области сжатия) будет распространяться в невозмущенный газ со скоростью Д, большей, чем ω, что в дальнейшем будет обосновано.

·t

Д·t

Рис. 5.8. Пояснительная схема к выводу основных уравнений

гидродинамической теории

Допустим, что в начальный момент поршень находится в плоскости А; через промежуток времени t поршень будет находится в плоскости В. Фронт ударной волны в начальный момент также находится в плоскости А, а в момент t он находится в плоскости С. Обозначим через Р₀, ρ₀, Т₀ соответственно давление, плотность и температура газа в исходном состоянии, а через Р₁, ρ₁ и Т₁ – давление, плотность и температуру газа, сжатого ударной волной. Из рис. 5.8 следует, что если за время t поршень прошел расстояние ωt, то ударная волна прошла расстояние Дt, расстояние же между поршнем и передним фронтом ударной волны стало (Д – ω) ·t. Отсюда, объем сжатого газа равен (Д – ω) · t · S, а первоначальный объем того же количества газа был Д · t · S. Масса сжатого газа равна ρ₁ · (Д – ω) ·t · S, а масса газа перед сжатием ρ₀ · Д ·t · S. Так как в процессе сжатия масса вещества не изменяется, то:

ρ₀ · Д · t · S = ρ₁ · (Д – ω) · t · S,

или

ρ₀Д = ρ₁(Д – ω) – закон (уравнение) сохранения массы при сжатии (см. выше).

Сжатый газ движется со скоростью ω и, следовательно, при сжатии массы ρ₀Д ·t · S приобретает количество движения ρ₀Д ·t · S· ω.

По второму закону Ньютона изменение количества движения равно импульсу силы, т.е. произведению силы на время ее действия. Результирующая сила, действующая на газ между поршнем и плоскостью С равна Р₁ – Р₀)S, а импульс ее за время t равен Р₁ – Р₀)S  t. Приравнивая изменение количества движения величине импульса, получим:

Р₁ – Р₀)S t = ₀ · D · t · S · ω,

или

Р₁ – Р₀) = ₀ · D · ω – закон уравнение) сохранения количества движения при сжатии газа см. выше).

Напишем теперь уравнение сохранения энергии при сжатии. Полагаем, что при сжатии газ не отдает и не получает тепла извне, поэтому изменение его полной энергии должно равняться произведенной над газом работе. В свою очередь, полная энергия складывается из внутренней (тепловой) энергии и кинетической энергии движущегося газа. Обозначим через ₀ и ₁ начальную и конечную удельную внутреннюю энергию т.е. внутреннюю энергию единицы массы); кинетическая энергия единицы массы сжатого газа, очевидно, равна . Так как масса сжатого газа ₀ D · t · S, то полное изменение энергии газа при сжатии составит: ₀ D · t · S ₁ – ₀ + ).

Работа внешней силы над газом есть работа поршня, действующего на газ с силой Р₁ S на пути ωt. Приравнивая изменение энергии работе силы, получим:

₀ D · t · S ₁ – ₀ + ) = Р₁S ωt,

или

₀ D ₁ – ₀ + ) = Р₁ ω – закон уравнение) сохранения энергии при сжатии.

Присоединяя к трем написанным уравнениям сохранения массы, количества движения и энергии уравнение состояния сжимаемого газа, можно определить любую из пяти величин Р, , Т, ω и D, если одна из них задана и известны исходные параметры газа Р₀, ₀ и Т₀.

Ниже приводятся системы уравнений для определения параметров воздушной ударной волны ВУВ) для значений невозмущенного воздуха, соответствующие международной стандартной атмосфере Т₀ = 288 К, Р₀ = 101325 Па, ₀ = 1,225 кг/м³:

, м/с;

м/с;

кг/м³;

К.

Формулы системы уравнений пригодны для расчета параметров ВУВ средней интенсивности при Р₁  5 МПа и представляют практический интерес. При больших значениях давлений необходимо учитывать зависимость теплоемкости С_V от Т и показателя адиабаты. С повышением температуры повышается С_V и снижается показатель адиабаты (табл. 5.5).

Таблица 5.5

Параметры ВУВ

Давление Р1, МПа	Избыточное давление  Р1, МПа	Скорость D, м/с	Скорость , м/с	Плотность , кг/м3	Температура Т, К
5,100	5,000	2200	1800	6,600	2200
1,100	1,000	1040	772	4,800	490
0,200	0,100	460	22,6	1,300	296
0,101	0,001	340	2,3	1,225	228