Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

“Петербургский государственный университет путей сообщения”

Кафедра “Теория механизмов и робототехнические системы”

В. П. Г Р Я З Е В

Прикладная механика

Методические указания

для студентов 2 курса заочного обучения

специальностей УПП, АТ, ЭС, ЗОС

Санкт-Петербург

2008

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ........................................................................................................... 3

Программа дисциплины “Прикладная механика”

и вопросы для подготовки к зачету......................................................... 5

Задания на контрольные работы ................................................................... 10

Методические указания по решению задач ................................................. 18

Приложение 1. Нормальные линейные размеры …………………………. 31

Приложение 2. Основные характеристики

некоторых электродвигателей ………………………………………... 32

2

ВВЕДЕНИЕ

В соответствии с учебными планами студенты 2 курса заочного обучения специальностей УПП, АТ, ЭС изучают дисциплину “Прикладная механика”. Студенты специальности ЗОС дисциплину “Механика” изучают на двух кафедрах: первую часть – на кафедре “Теоретическая механика”, вторую часть (собственно “Прикладную механику”) – на кафедре “Теория механизмов и робототехнические системы”.

Прикладная механика является одной из первых общеинженерных дисциплин, изучаемых студентами специальностей УПП, АТ, ЭС, ЗОС, и состоит из следующих разделов: “Теория механизмов и машин”, “Сопротивление материалов”, “Детали машин”. Студенты специальности УПП изучают “Сопротивление материалов” как самостоятельную учебную дисциплину на кафедре “Прочность материалов и конструкций”.

В разделе “Теория механизмов и машин” изучаются основные виды механизмов и машин, строение (структура) механизмов, кинематика и динамика механизмов и машин, основные методы их анализа и синтеза. В разделе “Сопротивление материалов” изучаются деформации и напряжения, возникающие под действием нагрузок, методы расчета деталей на прочность и жесткость. В разделе “Детали машин” рассматриваются основы проектирования машин и механизмов.

3

При изучении дисциплины “Прикладная механика” студенты заочного обучения выполняют 2 контрольные работы и сдают зачет с оценкой.

Студенты специальности УПП выполняют следующие контрольные работы:

Контрольная работа №1, состоящая из одной задачи №1 (см. раздел “Задания на контрольные работы”).

Контрольная работа №2, состоящая также из одной задачи №2 (см. тот же раздел).

Студенты специальностей АТ, ЭС, ЗОС выполняют следующие контрольные работы:

Контрольная работа №1 (для ЗОС – иная нумерация: №4), состоящая из одной задачи №1 (см. раздел “Задания на контрольные работы”).

Контрольная работа №2 (для ЗОС – №5), состоящая из двух задач: №3 и №4 (см. тот же раздел).

4

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ “ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА”

И ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЗАЧЕТУ

Программа дисциплины “Прикладная механика”, предусмотренная Государственным образовательным стандартом, и вопросы для подготовки к зачету приведены в таблице 1. В столбцах 2 и 3 даются ссылки на страницы учебника: Красковский Е.Я., Дружинин Ю.А., Филатова Е.М. "Расчет и конструирование механизмов приборов и вычислительных систем" (1-е изд. 1983 г., 2-е изд. 1991 г.). Для подготовки к зачету можно использовать и другие доступные студенту учебники по “Прикладной механике”, “Теории механизмов и машин”, “Сопротивлению материалов”, “Деталям машин”.

Рекомендуется повторить следующие вопросы из курса физики (раздел “Механика”): понятие силы, момент силы, система сходящихся сил, произвольная плоская система сил, условия равновесия систем сил, правила сложения сил (правило параллелограмма, правило многоугольника).

Студенты специальности УПП сдают зачет по “Прикладной механике” без вопросов из раздела “Сопротивление материалов”.

5

Таблица 1. Вопросы для подготовки к зачету

	1-е изд. 1983 г.	2-е изд. 1991 г.
1	2	3
Введение
Предмет изучения в дисциплине "Прикладная механика". Структура дисциплины (разделы).	Любой учебник по прикладной механике
Теория механизмов и машин
Предмет изучения в разделе “Теория механизмов и машин”. Основные понятия: машина, механизм. Виды машин и механизмов. Блок-схема простой машины, назначение основных частей.	с. 9, 14, рис. на с. 57	с. 9, 14, 45
Звено механизма, входные и выходные звенья. Кинематическая пара, классификация кинематических пар.	с. 14-19	с. 14-20
Основные виды механизмов. Их применение в технике.	Любые учебники по прикладной механике и теории механизмов и машин
Задачи структурного исследования механизмов. Начальный механизм, образование плоских механизмов путем наслоения структурных групп нулевой подвижности. Число степеней свободы.	с. 19-20, 299-300	с. 20-21, 339-341

6

1	2	3
Задачи кинематического анализа механизмов. Определение положений звеньев плоских многозвенных механизмов. Аналитические и графо-аналитические методы кинематического исследования механизмов.	с. 23-24, 27	с. 24-25, 28-29
Определение скоростей и ускорений векторным методом планов (на примере кривошипно-ползунного механизма).	с. 31-32, 35-36	с. 32-34, 38-39
Определение скоростей и ускорений векторным методом планов (на примере четырехшарнирного механизма).	с. 31-35	с. 32-37
Силы, действующие на звенья механизма. Расчет сил инерции и моментов сил инерции звеньев. Понятие о моменте инерции звена.	с. 38-40, 59	с. 43-44, 74-75
Основная расчетная динамическая модель механизма. Звено приведения. Приведенная сила. Уравновешивающая сила. Определение уравновешивающей силы методом рычага Н.Е.Жуковского.	с.41, 44-46	с.43, 45-46, 50-52
Коэффициент полезного действия (КПД). Расчет общего КПД сложного механизма при последовательном соединении механизмов. Методика выбора электродвигателя в приводе.	с. 56-57, 63	с. 71-72, 61-62

7

1	2	3
Назначение механических передач. Виды передач. Основные параметры передачи. Ступенчатое и бесступенчатое регулирование передаточного отношения. Закон передачи крутящих моментов.	с. 24-27, 182-185, 259, 43-44	с. 25-28, 208-211, 299, 45
Виды зубчатых передач (проиллюстрировать эскизами). Понятие об эвольвенте окружности. Эвольвентное зацепление. Кинематика зубчатой передачи.	с. 182-189	с. 208-214, 216-217
Планетарный механизм: водило, солнечное колесо, сателлиты. Определение передаточного отноше-ния планетарного механизма. Схемы планетарных передач. Дифференциальный механизм.	с. 216-217, 219, 223-224	с. 249-253, 257-259
Сопротивление материалов
Предмет изучения в разделе “Сопротивление материалов”. Расчетная модель. Виды нагрузок. Деформации: упругая и остаточная. Виды простых деформаций. Напряжения: нормальные и касательные. Прочность и жесткость.	с. 98-102	с. 115-119
Осевые растяжение и сжатие: напряжение, деформация, закон Гука, расчеты на прочность и жесткость.	с. 102-103, 106-108	с. 119-121, 123-126
Кручение: напряжение, деформация, расчеты на прочность и жесткость.	с. 131-134	с. 150-153
Сдвиг (срез): напряжение, деформация, закон Гука для сдвига, расчеты на прочность и жесткость.	с. 130-131	с. 147-149

8

1	2	3
Изгиб: напряжения, деформация, построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента, расчет на прочность.	с. 111-116, 119-127	с. 128-133, 137-145
Детали машин
Предмет изучения в разделе “Детали машин”. Основные этапы проектирования механических систем. Виды конструкторских документов. Инженерные расчеты: проектный и проверочный.	Любые учебники по прикладной механике и деталям машин
Основные требования к конструкции. Пути повы-шения надежности на стадии проектирования.	- | -
Виды соединений деталей (проиллюстрировать эскизами). Классификация соединений по признаку разъёмности.	- | -
Виды валов и осей. Предварительный и проверочный расчеты валов.	- | -
Опоры валов и осей, классификация, конструкции, подбор, применение.	- | -
Основные понятия о стандартизации и взаимозаменяемости. Допуск, посадка, квалитет, система отверстия и система вала, обозначения допусков и посадок на чертежах.	- | -
Шероховатость поверхности, параметры шероховатости, обозначение шероховатости на чертежах.	- | -

9

ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Во всех задачах студент выбирает свой вариант задания по последней цифре своего шифра.

Задача 1

Требуется рассчитать машинный агрегат, блок-схема которого представлена на рис. 1. В качестве двигателя М используется электродвигатель. Передаточный механизм ПМ понижает частоту вращения вала, т.е. является редуктором. Вращение передается на ведущее звено (кривошип) исполнительного рычажного механизма. Схемы рычажных механизмов приведены на рис. 2 и 3. Если последняя цифра шифра четная, то следует взять схему механизма на рис. 2, если нечетная – то на рис. 3. Геометрические размеры механизмов, угол ₁ положения ведущего звена и частота вращения n₁ ведущего звена приведены в таблице 2. Ведущее звено вращается равномерно.

Требуется:

1. Начертить в стандартном масштабе кинематическую схему заданного механизма в заданном положении, определяемом углом ₁.

2. Определить степень подвижности механизма (число степеней свободы).

10

Рис. 1. Блок-схема машинного агрегата: М – двигатель, ПМ – передаточный механизм (редуктор), ИМ – исполнительный механизм.

Рис. 2. Кривошипно-ползунный механизм: АВ – кривошип,

ВС – шатун, С – ползун.

Рис. 3. Четырехшарнирный механизм: АВ – кривошип,

ВЕ – шатун, CD – коромысло.

11

3. Для заданного положения механизма, определяемого углом ₁, с помощью векторного метода планов определить скорости и ускорения характерных точек механизма:

а) для кривошипно-ползунного механизма: линейные скорости и ускорения точек В, С и центров масс звеньев, приняв положение центра масс посередине звена, а также угловую скорость ₂ шатуна,

б) для четырехшарнирного механизма: линейные скорости и ускоре-ния точек В, С, Е и центров масс звеньев, приняв положение центра масс посередине звена, а также угловые скорости ₂ шатуна и ₃ коромысла.

4. Рассчитать массу каждого звена, приняв массу одного погонного метра звена равной 5 кг. Для механизма на рис. 2 принять массу ползуна С равной массе звена ВС. Рассчитать силу тяжести G_i каждого звена.

5. Определить инерционную нагрузку звеньев (только силы инерции).

6. Для заданного положения механизма вычертить в стандартном масштабе схему механизма и приложить к звеньям силы тяжести, силы инерции, силу полезного сопротивления. Принять, что сила полезного сопротивления: а) в механизме на рис. 2 приложена к ползуну С и в 100 раз больше силы тяжести G₃ ползуна, б) в механизме на рис. 3 приложена к точке Е, направлена противоположно скорости точки Е и в 100 раз больше силы тяжести G₂ звена ВЕ.

7. Найти уравновешивающую силу на звене приведения механизма методом рычага Н.Е.Жуковского.

8. Спроектировать привод для рычажного механизма. Рассчитать требуемую мощность электродвигателя, приняв коэффициент полезного действия редуктора равным 0,9. Подобрать электродвигатель по каталогу.

9. Рассчитать общее передаточное отношение редуктора, выбрать схему редуктора (одноступенчатый или двухступенчатый), для двухсту-

12

пенчатого редуктора рассчитать передаточные отношения каждой ступени. Принять числа зубьев ведущих колес равными 20+Ш, где Ш – последняя цифра шифра. Рассчитать числа зубьев ведомых колес.

Таблица 2. Исходные данные к задаче 1

Послед-няя цифра шифра	Длины звеньев механизмов на рис. 2 и 3, м АВ ВС		Дополнительные размеры для меха-низма на рис. 3, м CD AD		1 , град	n1 , об/мин
0	0,05	0,15	0,10	0,10	15	100
1	0,06	0,16	0,12	0,11	50	115
2	0,08	0,17	0,15	0,12	45	130
3	0,09	0,18	0,18	0,15	60	145
4	0,10	0,20	0,20	0,16	75	160
5	0,07	0,25	0,22	0,18	105	175
6	0,12	0,28	0,25	0,20	120	190
7	0,11	0,30	0,24	0,24	135	205
8	0,075	0,19	0,16	0,25	150	220
9	0,055	0,22	0,14	0,22	165	235

Задача 2

Рассчитать основные параметры цилиндрической зубчатой передачи и построить геометрическую картину эвольвентного зацепления двух

13

зубчатых колес по исходным данным, приведенным в таблице 3. Принять, что зубчатые колеса нарезаны без смещения режущего инструмента, угол профиля исходного контура режущего инструмента имеет стандартное значение  = 20^о, угол зацепления _w также равен 20^о.

Требуется:

1. Определить диаметры делительных (начальных), основных окружностей, диаметры окружностей выступов и впадин, шаг по дуге начальной окружности, межосевое расстояние зубчатой пары.

2. Начертить в стандартном масштабе геометрическую картину зубчатого зацепления (зубья колес рисовать не надо).

Таблица 3. Исходные данные к задаче 2

Последняя цифра шифра	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Число зубьев шестерни Z1	20	18	19	17	22	21	23	20	18	19
Передаточное отношение U12	2,5	4	3,6	4	3,15	1,6	2,5	3,15	2,5	2
Модуль зубчатой передачи m , мм	2	2	3	3	4	4	5	5	6	6

Задача 3

Жестко заделанный одним концом стальной вал круглого сечения нагружен тремя крутящими моментами Т₁, Т₂, Т₃. Номер вала на рис. 4 выбирается по последней цифре шифра. Размеры вала, значения крутящих моментов и допускаемые касательные напряжения приведены в таблице 4.

Требуется:

1. Построить эпюру крутящих моментов. Определить максимальный крутящий момент Т_max , действующий на наиболее опасном участке вала.

14

Рис. 4. Схемы нагружения вала. Рис. 5. Схемы нагружения

двухопорной балки.

15

2. Определить требуемый диаметр вала из условия прочности на кручение при заданном допускаемом касательном напряжении [].

3. Рассчитать углы закручивания для каждого участка вала, построить эпюру углов закручивания и определить максимальный угол закручивания. Принять для стали модуль упругости при сдвиге G = 8 ^. 10⁴ МПа.

Таблица 4. Исходные данные к задаче 3

Последняя цифра шифра	Размеры вала, м a b		Крутящие моменты, кН . м Т1 Т2 Т3			Допускаемое напряжение [], МПа
0	1,6	2,0	2,0	1,8	1,0	60
1	1,2	2,2	1,9	1,7	1,1	50
2	1,1	2,4	1,8	1,6	1,2	40
3	1,5	2,5	1,7	2,0	1,3	30
4	1,4	2,6	1,6	1,5	1,4	70
5	1,0	2,7	1,8	1,4	1,5	60
6	1,3	2,8	1,7	1,3	1,6	50
7	1,2	2,9	1,9	1,7	1,2	40
8	1,4	3,0	2,0	1,9	1,8	30
9	1,1	2,1	1,5	1,0	1,9	80

Задача 4

Двухопорная балка нагружена сосредоточенными силами F₁ и F₂. Номер балки на рис. 5 выбирается по последней цифре шифра. Размеры балки и значения силы F₁ приведены в таблице 5. Принять, что F₂ = 2F₁.

16

Требуется:

1. Определить опорные реакции и произвести их проверку.

2. Для каждого участка балки написать аналитические выражения поперечной силы Q и изгибающего момента М_и.

3. Построить эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента М_и. Определить максимальный изгибающий момент М_{и max} .

4. Определить требуемый диаметр стальной балки круглого сечения из условия прочности на изгиб при заданном допускаемом напряжении [] = 160 МПа.

Таблица 5. Исходные данные к задаче 4

Последняя цифра шифра	Размеры балки, м a b c			F1 , кН
0	1	4	1	6
1	2	3	2	7
2	1	2	3	8
3	2	1	4	10
4	1	4	5	6
5	2	3	1	7
6	1	2	2	8
7	2	1	3	10
8	1	4	4	6
9	2	3	5	7

17

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Контрольные работы оформляются по выбору студента либо в виде пояснительной записки на листах формата А4, либо в школьной тетради. Рекомендуется весь графический материал, относящийся к одной задаче, располагать на одном листе формата А4, либо на развороте страниц школьной тетради.

Рекомендуется при выполнении контрольных работ пользоваться Международной системой единиц СИ. Напомним основные единицы этой системы: время – секунда (с), длина – метр (м), масса – килограмм (кг). Производные единицы, применяемые при выполнении контрольных работ: скорость – м/с, ускорение – м/с², угловая скорость – радианы в секунду (¹/с), сила – ньютон (Н), момент силы – Н ^. м, мощность – ватт (Вт). Кроме того, используется внесистемная единица – частота вращения n в оборотах в минуту (об/мин), связанная с угловой скоростью  (¹/с) зависимостью:  =  n / 30. В задачах по сопротивлению материалов дополнительно используются следующие производные единицы: давление (напряжение) – паскаль (Па = Н/м²), момент инерции сечения – м⁴.

Рекомендуется придерживаться следующего правила оформления

расчетов в контрольных работах. Следует записать расчетную формулу,

18

подставить в нее численные значения и записать результат, промежуточные результаты писать не надо.

Например: R = = =10 Н

Задача 1

Задача посвящена исследованию машинного агрегата, исполнительным механизмом в котором является плоский рычажный механизм.

Решение задачи начинается с проведения структурного, кинематического и динамического исследования рычажного механизма. После расчета значения уравновешивающей силы F_У на звене приведения механизма методом рычага Н.Е.Жуковского определяется мощность на звене приведения P_АВ = F_УV_В, где V_В – скорость точки В. Далее рассчитывается требуемая мощность двигателя, по каталогу выбирается подходящий электродвигатель и проектируется передаточный механизм. Электродвигатель можно выбрать по любому доступному студенту каталогу электродвигателей, либо по таблице “Основные характеристики некоторых электродвигателей”, приведенной в приложении 2.

Рекомендуется по мере выполнения пунктов задачи 1 изучать по учебной литературе теоретические вопросы для подготовки к зачету.

В качестве примера рассмотрим решение задачи со следующими исходными данными: задан четырехшарнирный механизм, l_AB = 0,0625 м, l_BC = 0,21 м, l_CD = 0,1025 м, l_AD = 0,135 м, ₁ = 40^o, n₁ = 149,2 об/мин.

1. Кинематическая схема механизма показана на рис. 6а.

2. Степень подвижности (число степеней свободы) механизма опреде-

19

ляется по структурной формуле для плоских механизмов, предложенной П.Л.Чебышевым: W = 3 (К – 1) – 2р₅ – р₄, где К – общее число звеньев в механизме, включая стойку, р₅ – число кинематических пар 5-го класса, р₄ – число кинематических пар 4-го класса. Заданный механизм состоит из 4-х звеньев: 1 – кривошип АВ, 2 – шатун ВЕ, 3 – коромысло CD, 4 – стойка (корпус). Механизм имеет 4 вращательные кинематические пары 5-го класса – шарниры A, B, C, D. Механизм не имеет кинематических пар 4-го класса. Вычисляем степень подвижности (число степеней свободы) механизма: W = 3 (К – 1) – 2р₅ – р₄ = 3 ^. (4 – 1) – 2 ^. 4 – 0 = 1, что означает, что механизм имеет одно входное звено (кривошип АВ), которому передается вращение от одного двигателя.

3. Определяем скорости точек механизма. Угловая скорость кривошипа ₁ = n₁ / 30 = 3,14 ^. 149,2 / 30 = 15,62 ¹/с. Скорость точки В V_B = = ₁l_AB = 15,62 ^. 0,0625 = 0,98 м/с. Решая графически векторное уравнение = + , получаем план скоростей (рис. 6б). Скорость V_B изображается отрезком p_vb = 49 мм. Отсюда масштабный коэффициент плана скоростей k_v = V_B / p_vb = 0,98 / 49 = 0,02 (м/с)/мм. Измеряем длины отрезков на плане скоростей и вычисляем скорости: V_C = p_vc ^. k_v = 46 ^. 0,02 = = 0,92 м/с, V_E = p_ve ^. k_v = 61^. 0,02 = 1,22 м/с, V_S1 = p_vs₁ ^. k_v = 24,5 ^. 0,02 = = 0,49 м/с, V_S2 = p_vs₂ ^. k_v = 42 ^. 0,02 = 0,84 м/с, V_S3 = p_vs₃ ^. k_v = 23 ^. 0,02 = = 0,46 м/с, V_CB = bc ^. k_v = 49 ^. 0,02 = 0,98 м/с. Угловые скорости звеньев 2 и 3: ₂ = V_CB / l_BC = 0,98 / 0,21 = 4,67 ¹/с, ₃ = V_C / l_CD = 0,92 / 0,1025 = 8,98 ¹/с.

Определяем ускорения точек механизма. = + . Но = 0, т.к. ₁=const. =₁² l_AB= 15,62^{2 .} 0,0625 = 15,25 м/с². Решая графически систему двух векторных уравнений: = + + и = + , получаем план ускорений (рис. 6в). Ускорение a_B изображается отрезком p_ab = 61 мм.

20

Масштабный коэффициент плана ускорений k_a = a_B / p_ab = 15,25 / 61 = = 0,25 (м/с²)/мм. Нормальное ускорение = ₂² l_BC = 4,67^{2 .} 0,21 = = 4,58 м/с² изображается отрезком bn = / k_a = 4,58 / 0,25 = 18 мм. Нормальное ускорение = ₃² l_CD = 8,98^{2 .} 0,1025 = 8,27 м/с² изображается отрезком p_am = / k_a = 8,27 / 0,25 = 33 мм. Измеряем длины отрезков на плане ускорений и вычисляем ускорения: a_C = p_ac ^. k_a = = 48 ^. 0,25 = 12 м/с², a_E = p_ae ^. k_a = 44 ^. 0,25 = 11 м/с², a_S1 = p_as₁ ^. k_a = = 30,5 ^. 0,25 = 7,6 м/с², a_S2 = p_as₂ ^. k_a = 51 ^. 0,25 = 12,8 м/с², a_S3 = = p_as₃ ^. k_a = 24 ^. 0,25 = 6 м/с².

4. Вычисляем массы звеньев: m₁ = 5 l_AB = 5 ^. 0,0625 = 0,31 кг, m₂ = = 5 ^. (l_BC + l_CE) = 5 ^. (0,21 + 0,105) = 1,58 кг, m₃ = 5 l_CD = 5 ^. 0,1025 = 0,51 кг. Силы тяжести: G₁ = m₁ g = 0,31 ^. 9,8 = 3 Н, G₂ = m₂ g = 1,58 ^. 9,8 = 15,5 Н, G₃ = m₃ g = 0,51 ^. 9,8 = 5 Н.

5. Вычисляем силы инерции, действующие на звенья: F_и1 = m₁ a_S1 = = 0,31 ^. 7,6 = 2,4 Н, F_и2 = m₂ a_S2 = 1,58 ^. 12,8 = 20,2 Н, F_и3 = m₃ a_S3 = 0,51 ^. 6 = = 3,1 Н.

6. Силы, действующие на звенья, показаны на рис. 6г. Вычисляем силу полезного сопротивления: F_ПС = 100G₂ = 100 ^. 15,5 = 1550 Н.

7. Рычаг Н.Е.Жуковского представляет собой жесткую систему, которая совпадает по конфигурации с планом скоростей, повернутым на 90^о в любую сторону; он шарнирно закреплен в полюсе p_v, к нему приложены силы, действующие на звенья, и уравновешивающая сила F_У (рис. 6е). Условие равновесия рычага: M_pv(F_i) + M_pv(F_У) = 0. Напомним, что момент M_pv(F) силы F относительно полюса p_v есть произведение силы F на плечо h, которое равно длине перпендикуляра, опущенного из полюса p_v на линию действия силы F, причем если момент вращает рычаг

21

Рис.6: а – кинематическая схема рычажного механизма в заданном положении, б – план скоростей, в – план ускорений.

22

Продолжение рис.6: г – силы, действующие на звенья механизма, д – звено приведения с уравновешивающей силой, е – рычаг Н.Е.Жуковского,

ж – кинематическая схема двухступенчатого редуктора.

по часовой стрелке, то он считается отрицательным; если против часовой стрелки, то положительным. Запишем условие равновесия рычага на рис. 6е: – G₁h_G1 – G₂h_G2 + G₃h_G3 – F_и2h_Fи2 – F_и3h_Fи3 – F_ПС p_ve + F_У p_vb = 0 (плечи h не показаны). Отсюда F_У = (G₁h_G1 + G₂h_G2 – G₃h_G3 + F_и2h_Fи2 + F_и3h_Fи3 + + F_ПС p_ve) / p_vb = (3 ^. 19 + 15,5 ^. 3 – 5 ^. 5 + 20,2 ^. 24 + 3,1 ^. 17 + + 1550 ^. 61) / 49 =1942 Н.

8. Вычисляем мощность Р_АВ на звене приведения механизма (рис. 6д): Р_АВ = F_У V_B = 1942 ^. 0,98 = 1903 Вт. Вычисляем требуемую мощность двигателя, приняв коэффициент полезного действия редуктора  = 0,9: Р = Р_АВ / = 1903 / 0,9 = 2114 Вт. По каталогу (приложение 2) выбираем электродвигатель типа 4А80В2У3 мощностью 2200 Вт с частотой вращения n_ДВ = 2850 об/мин.

9. Вычисляем общее передаточное отношение редуктора: u = n_ДВ / n₁ = = 2850 / 149,2 = 19,10. Схему одноступенчатого редуктора применяют при передаточных отношениях не больше 6,3. Передаточные отношения двухступенчатого редуктора не больше 33. Выбираем схему двухступенчатого редуктора, показанную на рис. 6ж. Рассчитаем передаточные отношения ступеней: u₁₂ – 1-й ступени, u₃₄ – 2-й ступени. Воспользуемся системой уравнений, в которую входят: формула общего передаточного отношения для двухступенчатого редуктора u = u₁₂ u₃₄ и соотношение, показывающее, что передаточное отношение 1-й ступени на 20 % больше передаточного отношения 2-й ступени, u₁₂ = 1,2 u₃₄. Отсюда u₃₄ = = =3,99, u₁₂ = 1,2 u₃₄ = 1,2 ^. 3,99 = 4,79.

Возьмем в качестве примера Ш = 2. Вычисляем числа зубьев z₁, z₃ ведущих колес (шестерен) и числа зубьев z₂, z₄ ведомых колес. Первая ступень. Число зубьев шестерни 1: z₁ = 20 + Ш = 20 + 2 = 22. Вычисляем

24

число зубьев колеса 2. Из формулы передаточного отношения 1-й ступени u₁₂ = z₂/z₁ получаем: z₂ = u₁₂ z₁ = 4,79 ^. 22 = 105,38. Принимаем z₂ = 105. Вторая ступень. Число зубьев шестерни 3: z₃ = 20 + Ш = 20 + 2 = = 22. Вычисляем число зубьев колеса 4. Из формулы передаточного отношения 2-й ступени u₃₄ = z₄ /z₃ получаем: z₄ = u₃₄ z₃ = 3,99 ^. 22 = 87,78. Принимаем z₄ = 88. Вычисляем фактические значения передаточных отношений редуктора: u₁₂ = z₂/z₁ = 105 / 22 = 4,77; u₃₄ = z₄ /z₃ = 88 / 22 = = 4; u = u₁₂ u₃₄ = 4,77 ^. 4 = 19,08. Фактическая частота вращения ведущего звена механизма n₁ = n_ДВ / u = 2850 / 19,08 = 149,37 об/мин. Вычисляем погрешность: n₁ = [(149,37 – 149,2) / 149,2] ^. 100% = 0,1%.

Задача 2

Задача посвящена вопросам геометрии цилиндрических зубчатых передач.

Рекомендуется предварительно изучить следующие вопросы для подготовки к зачету: “Назначение механических передач. Виды передач. Основные параметры передачи”, “Виды зубчатых передач. Понятие об эвольвенте окружности. Эвольвентное зацепление. Кинематика зубчатой передачи”.

В качестве примера рассмотрим решение задачи со следующими исходными данными: Z₁ = 19; U₁₂ = 3,56; m = 5 мм.

1. Число зубьев ведомого колеса Z₂ = U₁₂Z₁ = 3,56 ^. 19 = 67,64. Принимаем Z₂ = 68. Диаметры делительных окружностей: d₁ = mZ₁ = = 5 ^. 19 = 95 мм, d₂ = mZ₂ = 5 ^. 68 = 340 мм. Диаметры окружностей выступов: d_a1 = d₁ + 2m = 95 + 2 ^. 5 = 105 мм, d_a2 = d₂ + 2m = 340 + 2 ^. 5 = = 350 мм. Диаметры окружностей впадин: d_f1 = d₁ – 2,5m = 95 – 2,5 ^. 5 = = 82,5 мм, d_f2 = d₂ – 2,5m = 340 – 2,5 ^. 5 = 327,5 мм. Диаметры основных

25

окружностей: d_b1 = d₁cos_w = 95 ^. cos20^о = 95 ^. 0,9396 = 89,3 мм, d_b2 = = d₂cos_w = 340 ^. cos20^о = 340 ^. 0,9396 = 319,5 мм. Шаг по дуге начальной окружности p = m = 3,14 ^. 5 = 15,7 мм. Межосевое расстояние a_w = = (d₁ + d₂) / 2 = (95 + 340) / 2 = 217,5 мм.

2. Геометрическая картина зубчатого зацепления показана на рис. 7.

Задача 3

В задаче рассматривается схема нагружения вала крутящими моментами, вызывающими деформацию кручения, которая измеряется углом закручивания вала. Условие статической прочности вала при кручении состоит в том, что возникающее в сечениях наиболее опасного участка вала максимальное касательное напряжение _max не должно превышать допускаемого напряжения [], зависящего от материала вала.

Рекомендуется предварительно изучить следующие вопросы для подготовки к зачету: “Предмет изучения в разделе “Сопротивление материалов”. Расчетная модель. Виды нагрузок. Деформации: упругая и остаточная. Виды простых деформаций. Напряжения: нормальные и касательные. Прочность и жесткость”, “Кручение: напряжение, деформация, расчеты на прочность и жесткость”.

Угол закручивания  (в радианах) на участке вала длиной L (в метрах) рассчитывается по формуле: = T L / (GJ_p), где Т – крутящий момент на данном участке вала (Н ^. м), G – модуль упругости при сдвиге (Па), J_P – полярный момент инерции сечения (м⁴), причем J_P = 0,1d⁴, где d – диаметр вала (в метрах).

В качестве примера рассмотрим решение задачи со следующими исходными данными: размеры вала и величины крутящих моментов Т₁ и

26

М 1:2

Z₁=19 d₁=95 мм d₂=340 мм p=15,7 мм

Z₂=68 d_a1=105 мм d_a2=350 мм a_w=217,5 мм

m=5 мм d_f1=82,5 мм d_f2=327,5 мм

d_b1=89,3 мм d_b2=319,5 мм

Рис. 7. Геометрическая картина зубчатого зацепления.

27

Т₂ указаны на рис. 8а, допускаемое касательное напряжение [] = 40 МПа = = 40 ^. 10⁶ Па, модуль упругости G = 8 ^. 10⁴ МПа = 8 ^. 10¹⁰ Па.

1. Определяем крутящий момент Т₀ в заделке. Условие равновесия вала T_i = 0, или T₀ – T₁ + T₂ = 0. Отсюда T₀ = T₁ – T₂ = 2,2 – 0,5 = 1,7 кН^.м. Строим эпюру крутящих моментов. На участке A (a = 1,8 м): T_A = T₀ = = 1,7 кН^.м. На участке B (b = 3,2 м): T_B = T₀ – T₁ = 1,7 – 2,2 = – 0,5 кН^.м. Опасным является участок A: T_max = 1,7 кН^.м = 1700 Н^.м.

2. Вычисляем требуемый диаметр вала. Максимальное расчетное напряжение при кручении зависит от максимального крутящего момента T_max и диаметра d вала: _max = T_max / (0,2d³). Отсюда с учетом условия прочности при кручении _max [] получаем диаметр: d = = = 5,97 ^. 10^-2 м = 59,7 мм. Полученный диаметр вала округляем до ближайшего большего значения из ряда R_a40 нормальных линейных размеров по ГОСТ 6636-69 (приложение 1): d = 60 мм = 0,06 м.

3. Вычисляем углы закручивания. Предварительно вычисляем полярный момент инерции сечения вала J_p = 0,1d⁴ = 0,1 ^. 0,06⁴ = 130 ^. 10^-8 м⁴ и жесткость вала при деформации кручения GJ_p = 8 ^. 10^{10 .} 130 ^. 10^-8 = = 1040 ^. 10² Н^.м². Углы закручивания: на участке A _A = T_A a / (GJ_p) = = 1700 ^. 1,8 / (1040 ^. 10²) = 2,94 ^. 10^-2 рад, на участке B: _B = T_B b / (GJ_p) = = – 500 ^. 3,2 / (1040 ^. 10²) = – 1,54 ^. 10^-2 рад. Строим эпюру углов закручивания, рассчитав угол закручивания в конечной точке участка B _A + _B = 2,94 ^. 10^-2 + (– 1,54 ^. 10^-2) = 1,4 ^. 10^-2 рад. Максимальный угол закручивания _max = 2,94 ^. 10^-2 рад.

Задача 4

В задаче рассматривается схема нагружения двухопорной балки

28

Рис. 8: а – схема нагружения вала, б – эпюра крутящих моментов,

в – эпюра углов закручивания.

Рис. 9: а – схема нагружения двухопорной балки, б – эпюра поперечной силы Q, в – эпюра изгибающего момента М_и.

29

сосредоточенными силами, вызывающими деформацию изгиба. Условие статической прочности балки при изгибе состоит в том, что возникающее в наиболее опасном сечении балки максимальное нормальное напряжение _max не должно превышать допускаемого напряжения [], зависящего от материала балки.

Рекомендуется предварительно изучить следующие вопросы для подготовки к зачету: “Предмет изучения в разделе “Сопротивление материалов”. Расчетная модель. Виды нагрузок. Деформации: упругая и остаточная. Виды простых деформаций. Напряжения: нормальные и касательные. Прочность и жесткость”, “Изгиб: напряжения, деформация, построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента, расчет на прочность”.

В качестве примера рассмотрим решение задачи со следующими исходными данными: размеры балки и величина сосредоточенной силы F указаны на рис. 9а, допускаемое напряжение [] = 160 МПа = 160 ^. 10⁶ Па.

Напомним правила знаков для моментов, участвующих в расчете. Для моментов сил: если момент силы вращает балку по часовой стрелке, то он считается отрицательным; если против часовой стрелки, то положительным. Для изгибающих моментов: если изгибающий момент изгибает балку выпуклостью вверх («зонтиком»), то он считается отрицательным; если выпуклостью вниз («чашей»), то положительным.

Определяем опорные реакции R_A и R_B. По условию равновесия балки под действием произвольной плоской системы сил сумма моментов всех сил относительно точки А равна нулю: M_A(F_i) = 0, или – Fa + R_B(a + b) = = 0. Отсюда R_B = Fa / (a + b) = 5 ^. 2,8 / (2,8 + 1,2) = 3,5 кН. Аналогично – относительно точки В: M_В(F_i) = 0, или – R_А(a + b) + Fb = 0. Отсюда R_A = = Fb / (a + b) = 5 ^. 1,2 / (2,8 + 1,2) = 1,5 кН. Проверка: R_A – F + R_B = 0, или

30

1,5 – 5 + 3,5 = 0. Опорные реакции R_А и R_B определены правильно.

2. Вычисляем поперечную силу Q и изгибающие моменты М_и на двух участках балки.

Участок 1-2. Q₁₂ = R_A = 1,5 кН. М_и12 = R_Ax. При x = 0 М_и12 = 0. При x = а М_и12 = R_Aа = 1,5 ^. 2,8 = 4,2 кН^.м.

Участок 3-4. Q₃₄ = R_A – F = 1,5 – 5 = – 3,5 кН. М_и34 = R_Ax – F (х – a). При x = a М_и34 = R_Aa. Момент вычислен выше: 4,2 кН^.м. При x = a + b М_и34 = R_А (a + b) – Fb = 1,5 ^. (2,8 + 1,2) – 5 ^. 1,2 = 0.

3. По результатам вычислений строим эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента М_и. Судя по эпюре, М_{и max} = 4,2 кН^.м = 4200 Н^.м.

4. Максимальное расчетное напряжение при изгибе зависит от максимального изгибающего момента М_{и max} и диаметра d стальной балки круглого сечения: _max = М_{и max} / (0,1d³). Отсюда с учетом условия прочности при изгибе _max [] получаем диаметр: d = = = 6,4 ^. 10^-2 м = 64 мм. Полученный диаметр округляем до ближайшего большего значения из ряда R_a40 нормальных линейных размеров по ГОСТ 6636-69 (приложение 1): d = 67 мм.

Приложение 1