- •Непосредственное интегрирование
- •Примеры решения задач
- •Метод замены переменной и формула интегрирования по частям
- •Примеры решения задач
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Примеры решения задач
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Примеры решения задач
- •Интегрирование иррациональных функций
- •Примеры решения задач
- •Определённый интеграл
- •Примеры решения задач
- •Несобственные интегралы
- •Примеры решения задач
- •Приложения определённого интеграла
- •Примеры решения задач
- •Частные производные первого и высшего порядков. Дифференциал функции нескольких переменных.
- •Примеры решения задач
- •Производная сложной и неявно заданной функции нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Примеры решения задач
- •Экстремум функции двух переменных
- •Примеры решения задач
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, однородные и сводящиеся к однородным уравнения
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижения порядка
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Линейные однородные и неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами, метод вариации постоянной
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
Несобственные интегралы
Несобственными называются интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы 1-го рода) и интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы 2-го рода).
Несобственные интегралы 1-го рода определяются следующим образом:
; ;
,
где – произвольное число.
Эти интегралы называются сходящимися, если существуют конечные пределы в правых частях равенств. Если же указанные пределы не существуют или бесконечны, то соответствующие интегралы называются расходящимися.
Несобственные интегралы 2-го рода определяются следующим образом:
, если функция имеет бесконечный разрыв при ;
, если функция имеет бесконечный разрыв при ;
, если функция имеет бесконечный разрыв в точке , .
Критерии сходимости формулируются для интегралов вида ; для других несобственных интегралов справедливы аналогичные утверждения.
1. Если на промежутке функции и удовлетворяют условию , то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости – расходимость .
2. Если функции и неотрицательны и существует предел , , то интегралы и одновременно оба сходятся или оба расходятся.
В качестве функции сравнения в случае особенно удобно использовать функцию ( ), а в случае интеграла от неограниченной в окрестности точки функции – функцию . Можно показать (см. лекции!), что интеграл сходится при и расходится при , а интеграл (как и интеграл ) сходится при и расходится при .
Примеры решения задач
Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: а) ; б) ; в) .
Решение.
а)
Такой предел не существует. Следовательно, несобственный интеграл расходится.
б) ,
т. е. несобственный интеграл сходится и его значение равно 1.
в) Подынтегральная функция – чётная, поэтому
то есть интеграл сходится и его значение равно .
2. Исследовать на сходимость интегралы: а) ; б) .
Решение.
а) Здесь при , при этом . Но интеграл расходится ( ). Поэтому, согласно признаку сравнения 1, интеграл расходится.
б) Здесь при . Рассмотрим функцию , интеграл от которой сходится ( ). А так как существует предел , то интеграл также сходится (признак сравнения 2).
3. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: а) ; б) ; в) .
Решение.
а) Подынтегральная функция в точке неограниченна, поэтому
,
т. е. несобственный интеграл расходится.
б) Подынтегральная функция терпит разрыв при . Поэтому
,
т. е. интеграл сходится и его значение равно .
в) Подынтегральная функция терпит разрыв при . Поэтому
,
т. е. интеграл сходится.
4. Исследовать на сходимость интегралы: а) ; б) .
Решение.
а) Подынтегральная функция при и неограниченна в точке , при этом . Но интеграл сходится ( ). Поэтому, согласно признаку сравнения 1, интеграл также сходится.
б) Функция терпит бесконечный разрыв в точке . Перепишем её в виде и сравним с функцией . Интеграл сходится ( ). Так как
,
то, согласно предельному признаку сравнения 2, интеграл также сходится.
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
1. Ответ: .
2. Ответ: .
3. Ответ: расходится.
4. Ответ: расходится.
5. Ответ: .
6. Ответ: расходится.
7. Ответ: .
8. Ответ: расходится.
9. Ответ: .
10. Ответ: .
Исследовать на сходимость интегралы:
1. Ответ: .
2. Ответ: расходится.
3. Ответ: .
4. Ответ: сходится.
5. Ответ: сходится.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 8